J. Phys. France 46, 2031-2045 (1985)
DOI: 10.1051/jphys:0198500460120203100

Quantum ohmic dissipation : coherence vs. incoherence and symmetry-breaking. a simple dynamical approach

C. Aslangul¹, N. Pottier¹ et D. Saint-James<sup>2

1</sup>  Groupe de Physique des Solides de l'Ecole Normale Supérieure , Université Paris V, 2 place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France
²  Laboratoire de Physique Statistique, Collège de France, 11 place Marcelin Berthelot, 75231 Paris Cedex 05, France

Abstract
By using standard quantum-statistical methods, we study the dynamics of a particle in a double-well potential, coupled dissipatively, in an « ohmic » way, to a bath of phonons. We refine previous results about the T = 0 symmetry breaking : (i) the critical behaviour of the order parameter is exhibited and the symmetry is shown to be only fully broken for infinite coupling; (ii) the dynamics follows a generalized Kohlrausch law of the type exp(- atb), where both parameters a and b are exactly calculated; a critical slowing down is very clearly displayed At finite temperature, the symmetry breaking does disappear, although a precursor behaviour of the transition exists when T → 0+. These results are extended to a particle in a multiple-well potential for which a localization phenomenon is seen to occur at T = 0. Finally, we investigate other dissipation laws (i.e. non ohmic) and we show that the ohmic model is unique by its ability to produce such a transition, although a precursor behaviour can be obtained for near-ohmic dissipation laws.

Résumé
La dynamique d'une particule située dans un double puits de potentiel et couplée à un bain de phonons suivant une loi de dissipation « ohmique » est étudiée à l'aide de méthodes usuelles de mécanique statistique quantique. Nous complétons les résultats déjà connus sur la brisure de symétrie à T = 0 de la manière suivante : (i) en déterminant le comportement critique du paramètre d'ordre, on montre que la brisure de symétrie n'est complète que pour un couplage infini ; (ii) la dynamique suit une loi de Kohlrausch généralisée de la forme exp( - atb), où les deux paramètres a et b sont calculés exactement; un ralentissement critique est très clairement mis en évidence. A température finie, la brisure de symétrie ne se produit plus, bien qu'un comportement précurseur de la transition se manifeste lorsque T → 0+. Ces résultats sont généralisés à une particule dans un potentiel à puits multiples : en présence de dissipation ohmique, un phénomène de localisation peut se produire à T = 0. En dernier lieu, nous examinons d'autres lois de dissipation (non ohmiques) et nous montrons que seul le modèle ohmique est capable de produire une telle transition, bien que, là encore, un comportement précurseur existe pour des lois de dissipation quasi ohmiques.

PACS
0530 - Quantum statistical mechanics.
1130Q - Spontaneous and radiative symmetry breaking.

Key words
coherence -- quantum statistical mechanics -- quantum theory -- spontaneous symmetry breaking