J. Phys. France 48, 1093-1110 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:019870048070109300

Quantum Brownian motion in a periodic potential: a pedestrian approach

C. Aslangul¹, N. Pottier¹ et D. Saint-James<sup>2

1</sup>  Groupe de Physique des Solides de l'Ecole Normale Supérieure, Université Paris V, 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France
²  Laboratoire de Physique Statistique, Collège de France, 3, rue d'Ulm, 75005 Paris, France

Abstract
The dynamics of a quantum particle coupled to an environment in an ohmic way and moving in a periodic potential is examined by means of a direct perturbation expansion of the equation of motion with respect to the amplitude of the potential (corrugation strength). Thus, by using only elementary quantum mechanics, we calculate the mobility of this Brownian particle in both cases of a finite and constant external force and of a small applied harmonic force. The static mobility is found to be related to that of a particle in a tight-binding lattice by a duality transformation previously demonstrated. Besides, it is shown by a linear response calculation in the presence of a small applied harmonic force that the particle behaves like an equivalent free particle with a modified (frequency-dependent) friction coefficient, and, consequently, a modified noise spectrum, both being related by the fluctuation-dissipation theorem.

Résumé
La dynamique d'une particule quantique couplée à un environnement de manière ohmique et se déplaçant dans un potentiel périodique est étudiée au moyen d'un développement direct de perturbations de l'équation du mouvement par rapport à l'amplitude des ondulations du potentiel. Ainsi, en faisant uniquement appel à la mécanique quantique élémentaire, nous calculons la mobilité de cette particule Brownienne dans les deux cas d'une force extérieure finie et constante et d'une petite force appliquée harmonique. La mobilité statique est reliée à la mobilité d'une particule sur un réseau décrit en liaisons fortes par une transformation de dualité établie antérieurement. De plus, un calcul de réponse linéaire en présence d'une petite force appliquée harmonique montre que la particule se comporte comme une particule libre équivalente avec un coefficient de frottement modifié (dépendant de la fréquence), et, en conséquence, avec un spectre de bruit modifié, ces deux quantités étant reliées par le théorème de fluctuation-dissipation.

PACS
0365 - Quantum mechanics.
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.

Key words
Brownian motion -- perturbation theory -- quantum theory