Shear flow instability in nematic liquids : theory steady simple shear flows

Abstract
We study shear flow instabilities in nematic liquids of planar geometry (molecules parallel to the plates limiting the sample) and where molecules are aligned (along Ox) perpendicular to the shear flow direction (along Oy). An external magnetic field reinforces the alignement imposed by surface effects. We develop a bidimensional model which takes into account exactly boundary conditions on the director and the velocity fields. The two types of instability which have been observed by Guyon and Pieranski (homogeneous distortion and convective rolls parallel to Oy) are interpreted within the framework of this model. We obtain instability thresholds together with the value of the critical wave vector qcx at threshold. Under weak fields the homogeneous distortion (qcx = 0) is achieved, whereas in high fields a roll instability develops (qcx ≠ 0). The crossover from one regime to the other takes place at H ≈ 1 kG. Moreover, we show that in either case, as far as the director is concerned, the aspect of the distortion along the z-direction is dominated by only one wave vector qz. Contrary to the case of the homogeneous distortion where q z varies strongly with H, for the roll instability qz remains nearly constant and close to π/2a (2 a is the thickness of the sample). This allows us to develop an approximation which leads to results in good agreement with those obtained exactly.

Résumé
Nous étudions des instabilités de cisaillement dans un liquide nématique en géométrie planaire (molécules parallèles aux surfaces de l'échantillon) et où l'alignement des molécules (suivant Ox) est perpendiculaire à l'écoulement (suivant Oy). Un champ magnétique extérieur renforce l'alignement imposé par les effets de surface. Nous développons un modèle bidimensionnel qui tient compte exactement des conditions aux limites sur le directeur et sur la vitesse de l'écoulement. Les deux types d'instabilité observés expérimentalement par Guyon et Pieranski (distorsion homogène et rouleaux convectifs parallèles à Oy) sont interprétés dans le cadre de ce modèle. On obtient les seuils d'instabilité ainsi que la valeur du vecteur d'onde critique q cx au seuil. En champ faible une distorsion homogène (qcx = 0) apparait. Par contre en champ élevé, il se développe une instabilité en rouleaux (qcx ≠ 0). On prévoit le changement de comportement pour un champ magnétique H ≈ 1 kG. On montre en outre que dans chaque cas, en ce qui concerne le directeur, l'allure de la distorsion selon Oz, est dominée par un seul mode qz. Contrairement au cas de la distorsion homogène où qz varie fortement avec H, pour l'instabilité en rouleaux, qz reste voisin de π/2a (2 a : épaisseur de l'échantillon) ce qui permet de développer un calcul approché qui donne des résultats en bon accord avec ceux du calcul exact.