Generalized WKB method through an appropriate canonical transformation giving an exact invariant

Abstract
The solution of differential equations of the type d2q/d τ2 + ω2(τ)q = 0 is of great interest in Physics. Authors often introduce an auxiliary function w, solution of a differential equation which can be solved by a perturbation method. In fact this approach is nothing but an extension of the well known WKB method. Lewis has found an exact invariant of the motion given in closed form in terms of this w function. Using an appropriate canonical transformation this exact invariant can be derived in a much easier way. This method can now be used as a natural way of introducing the WKB extension.

Résumé
La résolution d'équations différentielles du type d2 q/dτ2 + ω2(τ).q = 0 est d'un grand intérêt en Physique. On introduit souvent une fonction auxiliaire, solution d'une équation différentielle non linéaire, que l'on peut résoudre par une méthode de perturbation. Cette approche n'est en fait rien d'autre qu'une extension de la fameuse méthode WKB. Lewis a trouvé un invariant exact du mouvement exprimant une relation entre cette fonction et les coordonnées. Par le biais d'une transformation canonique originale nous dérivons cet invariant exact de façon extrêmement simple ce qui peut constituer désormais une introduction naturelle de la méthode WKB généralisée.