Critical transport and failure in continuum crack percolation

Abstract
Critical transport and failure properties of a new class of continuum percolation systems (blue cheese model), where the transport medium is the space between randomly placed clefts, are discussed. The critical behaviour of electrical conductivity, fluid permeability, elastic constants and failure thresholds are, for most of them, distinct from their counterparts in both the discrete-lattice and Swiss-cheese continuum percolation models. Furthermore, it is argued that the asymmetric elastic response of a crack submitted to compression or extension leads, for the macroscopic mechanical properties, to a new percolation threshold at a crack concentration higher than that of usual geometric percolation. This is due to the presence of hooks or overhang crack configurations which locally transform the macroscopic applied extensional stress into a compressional stress. In two dimensions, an analogy with directed percolation is suggested. When the cracks have a non-vanishing width, one recovers the usual geometric percolation threshold and the analysis of the transport properties is similar to that of the Swiss cheese model developed by Halperin et al. For elastic sheets which are not constrained to lie in a flat plane, the two edges of a crack may overlap : this leads to the existence of two additional elastic deformation modes (crack opening and buckling) which exhibit distinct critical behaviours. The brittle Griffith failure scenario which corresponds to the growth of a crack is analysed and introduces new critical failure exponents.

Résumé
On étudie les propriétés de transport et de rupture d'un nouveau modèle de percolation continue (fromage bleu) dans lequel le milieu qui supporte le transport est l'espace situé entre des fissures placées aléatoirement. Le comportement critique de la conductivité électrique, de la perméabilité, des constantes élastiques et des seuils de rupture sont, pour la plupart d'entre eux, différents de ceux obtenus en percolation sur réseau discret et avec le modèle de percolation continue du type gruyère. De plus, on suggère que l'assymétrie de la réponse élastique d'une fissure sous contrainte de compression ou d'extension conduit, pour les propriétés élastiques macroscopiques, à un nouveau seuil de percolation pour une concentration de fissures plus grande que celle donnant la percolation géométrique usuelle. Cela est dû à la présence de configurations en crochets ou déferlements dans le squelette de percolation qui transforme localement la contrainte d'extension macroscopique en une contrainte de compression. En dimension deux, on propose une analogie avec la percolation dirigée. Quand les fissures ont une largeur finie, on retrouve le seuil de percolation géométrique habituel et l'analyse des propriétés de transport est analogue à celle développée par Halperin et al. pour le modèle de gruyère. Pour une plaque mince élastique non contrainte dans un plan, les deux lèvres d'une fissure peuvent localement se recouvrir : cela conduit à l'existence de deux modes de déformation supplémentaires (ouverture et flambage) qui donnent des comportements critiques distincts. On analyse le scénario de rupture fragile de type Griffith dans lequel les fissures s'agrandissent sous l'action de contraintes d'extension. Un nouveau comportement critique est annoncé.