J. Phys. France 48, 1871-1880 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:0198700480110187100

Quantum dynamics of a damped free particle

C. Aslangul¹, N. Pottier¹ et D. Saint-James<sup>2

1</sup>  Groupe de Physique des Solides de l'Eco Normale Supérieure , University Paris V, 2, place Jussieu, 75251 Paris, France.
²  Laboratoire de Physique Statistique, Collège de France, 3, rue d'Ulm, 75005 Paris, France

Abstract
We investigate the exact quantum dynamics of a free particle damped through its interaction with an harmonic bath, when the effective coupling strength behaves as ωδ at low frequency. We find that various regimes can occur depending on the value of δ and of the temperature. At large times, the mean square displacement is shown either to diverge as tv, the exponent v being never greater than 2 or to tend towards a finite value, indicating a confinement in the broad sense. In addition, for δ < 1, an oscillation (absent in the uncoupled system) is found : due to the friction on the dominant low-frequency modes and to the existence of retardation effects, the particle is forced to relax in the mean towards its initial location, the net dynamical effect of the bath being similar to that of an applied potential. In the limit δ → 0, the particle is frozen.

Résumé
Nous étudions la dynamique exacte d'une particule libre quantique amortie par son interaction avec un bain harmonique, dans le cas où le couplage effectif se comporte comme ωδ à basse fréquence. Nous trouvons divers régimes selon les valeurs de δ et de la température. Aux grands temps, l'écart quadratique moyen du déplacement ou bien diverge comme t v, l'exposant v étant inférieur ou égal à 2 ou bien tend vers une valeur finie, ce qui est la caractéristique d'un confinement au sens large. De surcroît, pour δ > 1, une oscillation (absente dans le système non couplé) apparaît dans la dynamique : à cause de la friction sur les modes de basse fréquence dominants et des effets de mémoire, la particule est contrainte à relaxer en moyenne vers sa position initiale, l'effet dynamique global du bain étant analogue à celui d'un potentiel appliqué. Dans la limite δ → 0, la particule est bloquée.

PACS
0365 - Quantum mechanics.
0530 - Quantum statistical mechanics.
0570 - Thermodynamics.

Key words
quantum statistical mechanics -- quantum theory -- thermodynamics