Phyllotaxis or the properties of spiral lattices. - II. Packing of circles along logarithmic spirals

Abstract
Phyllotaxis can be identified with the study of spiral lattices which are useful as models for many botanical structures (arrangements of the inner florets of a daisy, of the scales of a pineapple...). We consider a geometrical idealization of such networks : a lattice of tangent circles aligned along a logarithmic spiral. using conditions for close-packing of such circles, we show that the parastichy numbers belong to a generalized Fibonacci sequence. Moreover, if « regular » parastichy transitions only occur in the lattice, the divergence tends to a noble number. On the contrary a rational number is reached after an infinite sequence of singular transitions.

Résumé
La phyllotaxie est l'étude des réseaux spiralés qui servent de modèles à de nombreuses structures botaniques (inflorescences de la marguerite, écailles de l'ananas...). Nous en considérons ici une idéalisation géométrique : un réseau de cercles tangents alignés le long d'une spirale logarithmique. Nous fondant sur les conditions de l'empilement compact de tels cercles, nous montrons que les nombres parastiques doivent appartenir à une suite de Fibonacci généralisée. De plus, si seules des transitions « régulières » de parastiques se produisent dans le système, la divergence tend vers un nombre noble. C'est au contraire un nombre rationnel qui est atteint au terme d'une suite infinie de transitions singulières.