Phyllotaxis, or the properties of spiral lattices. - I. Shape invariance under compression

Abstract
From the crystallographical point of view, phyllotaxis can be identified with the study of spiral lattices. In this paper, we devote our attention to plane lattices of points. Through a conformal transformation, one gets a lattice of points aligned along a logarithmic spiral. Centuries ago, one recognized the central role the Fibonacci sequence plays in phyllotaxis, as well as the golden ratio τ = 1/2 (1 + √5): the divergence angle (the angular distance between two consecutive points of the spiral) equals 2 π ι-1. We define some class of divergence angles more general than the « golden divergence » 2 π ι -1. This class insures a peculiar shape invariance of the lattice with respect to the change of the plastochrone ratio (or relative rate of growth of the logarithmic spiral).

Résumé
Du point de vue cristallographique, la phyllotaxie est l'étude des réseaux spiralés. Dans ce travail, nous nous consacrons aux réseaux plans bi-périodiques. Par application conforme, on étudie en parallèle un réseau de points alignés sur une spirale logarithmique. Depuis des siècles, on connaît le rôle central joué en phyllotaxie par la série de Fibonacci et le nombre d'or τ = 1/2 (1 + √5): l'angle de divergence, distance angulaire entre deux points consécutifs de la spirale est égal à 2 πτ-1. Nous montrons qu'une classe d'angles de divergence à laquelle appartient celle que l'on observe le plus souvent assure au réseau une certaine invariance de forme vis-à-vis de la modification du rapport plastochronique (ou taux relatif de croissance de la spirale logarithmique).