J. Phys. France 50, 725-731 (1989)
DOI: 10.1051/jphys:01989005007072500

Topological properties of cellular structures based on the staggered packing of prisms

M. A. Fortes

Departamento de Engenharia de Materiais, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, 1000 Lisboa, Portugal

Abstract
The three-dimensional cellular structures, formed by parallel columns of base-to-base packed prisms, with staggered bases in adjacent columns, are analysed for various topological properties, including the average number of faces in the cells, F, and the quantity mF, defined as the average number of faces in cells adjacent to F-faced cells. This class of cellular structures has tetravalent vertices and three faces at each edge, and is therefore of the topological type usually found in natural cellular structures. It is shown that in the prismatic cellular structure F can vary between 8 and infinite. When all prisms have the same height, a simple equation can be obtained for mF, which shows that mF is linear in 1/F whenever the random trivalent planar network that defines the topology of the bases of the prisms follows Aboav's law, i.e., a linear relation between mi and 1/i, where mi is the average number of sides in cells adjacent to an i-sided cell in that planar network. This is the first known example of a linear relation between mF and 1/F in a three-dimensional cellular structure.

Résumé
Les structures cellulaires tridimensionelles, formées par des colonnes parallèles de prismes empilés base-contre-base, avec des bases à différents niveaux dans des colonnes adjacentes, sont analysées dans le but de déterminer certaines propriétés topologiques moyennes, telles que le nombre moyen de faces, F, dans les cellules et la quantité mF, définie comme le nombre moyen de faces dans des cellules adjacentes aux cellules avec F faces. Ces structures cellulaires contiennent des sommets tétravalents et trois faces selon chaque arête, étant topologiquement du type des structures cellulaires naturelles. On montre que, dans la structure cellulaire prismatique, F peut varier entre 8 et l'infini. Quand tous les prismes sont de même hauteur, on peut obtenir une équation pour mF selon laquelle mF est linéaire en 1/F, chaque fois que la loi de Aboav est observée par le réseau planaire défini par les bases des prismes. La loi de Aboav établit une relation linéaire entre mi et 1/ i, mi étant le nombre moyen de côtés dans les cellules adjacentes aux cellules à i côtés dans un réseau planaire aléatoire. Ce résultat est le premier exemple connu d'une relation linéaire entre mF et 1/F dans une structure cellulaire tridimensionelle.

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).
0240 - Geometry, differential geometry, and topology.

Key words
lattice theory and statistics -- random processes -- topology