J. Phys. France 48, 1423-1437 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:019870048090142300

On the linear stability of needle crystals : evolution of a Zel'dovich localized front deformation

B. Caroli, C. Caroli et B. Roulet

Groupe de Physique des Solides de l'Ecole Normale Supérieure, associé au Centre National de la Recherche Scientifique, Université Paris V, 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France

Abstract
We derive from the linearized version of the dynamical integro-differential equation satisfied by small deformations of a 2-D needle-crystal the equations of evolution of a Zel'dovich wavepacket (a localized deformation starting from the tip region with a characteristic wavevector in the unstable region of the local planar spectrum). We define the conditions under which the « locally planar » type of description put forward by previous heuristic theories is valid. We find that the time evolution of the wavevector and spatial width of the deformation is primarily governed, not by the Zel'dovich stretching effect, but by a « differential amplification » effect due to spatial localization, which was up to now ignored. We show that, due to the parabolic shape of the basic front profile, the corresponding equations have an « asymptotically marginal » solution (the wavevector locks on the local marginal value, the amplitude saturates), thus strengthening the plausibility of the side-branching scenario based on transient amplification.

Résumé
Nous déduisons, de la version linéarisée de l'équation intégro-différentielle dynamique satisfaite par les petites déformations d'un cristal aciculaire à deux dimensions, les équations d'évolution d'un paquet d'onde de Zel'dovich (une déformation localisée partant de la région de la tête, avec un vecteur d'onde caractéristique situé dans la partie instable du spectre plan local). Nous définissons les conditions dans lesquelles une description « localement plane », du type de celle proposée par les théories heuristiques existantes, est valable. Nous trouvons que l'évolution temporelle du vecteur d'onde et de l'extension spatiale de la déformation est essentiellement gouvernée, non par l'effet d'étirement de Zel'dovich, mais par un effet d'« amplification différentielle » dû à la localisation, qui a été ignoré jusqu'ici. Nous montrons que, du fait de la forme essentiellement parabolique du front aciculaire, les équations correspondantes ont une solution « asymptotiquement marginale » (le vecteur d'onde tend à s'accrocher sur la valeur marginale locale, l'amplitude sature), ce qui renforce la plausibilité du scénario de branchement fondé sur l'amplification transitoire.

PACS
6150 - Crystalline state.
6870 - Whiskers and dendrites (growth, structure, and nonelectronic properties).

Key words
crystal growth -- dendrites