The microstructure of ultrametricity

Abstract
The hierarchical organization of the pure states of a S.K. spin glass (ultrametricity) is analysed in terms of self-averaging distributions of local magnetizations. We show that every pure state α defines an ultrametric distance Dα(i, j) among the N sites. Given two states α, β with overlap q there is a minimum distance dm such that for two sites i, j with Dα(i, j) ≽ d m the two distances Dα and D β coincide. It follows that the sites can be partitioned in disjoint cells inside which the total magnetization is the same for all the states with mutual overlap q. For this same family of states we then define an « ancestor » that has, inside each cell, constant local magnetization equal to the average magnetization of the descendants. The ancestors satisfy mean field like equations. The functional dependence of the local magnetization in terms of the local field is given by the solution of the diffusion equation in x space which is given a purely static interpretation.

Résumé
L'organisation hiérarchique des états purs d'un verre de spin S.K. (l'ultramétricité) est analysée en termes de la distribution des aimantations locales. Nous montrons que chaque état pur α définit une distance ultramétrique Dα(i, j) entre les N sites. Etant donnés deux états α, β dont le recouvrement est q, il y a une distance minimale dm telle que, pour chaque paire de sites i , j vérifiant Dα(i, j) ≽ dm, les deux distances Dα et D β coincident. Il en résulte qu'on peut faire une partition des sites en cellules disjointes à l'intérieur desquelles l'aimantation totale est la même pour tous les sites ayant un overlap mutuel q. Pour cette même famille d'états nous définissons un « ancêtre » qui a, à l'intérieur de chaque cellule, une aimantation locale constante et égale à l'aimantation moyenne des descendants. Les ancêtres vérifient les équations de type T.A.P. La dépendance fonctionnelle de l'aimantation locale en termes du champ local est donnée par la solution de l'équation de diffusion dans l'espace des x qui reçoit une interprétation purement statique.