J. Phys. France 43, 189-195 (1982)
DOI: 10.1051/jphys:01982004302018900

An integral formula for the even part of the texture function or « the apparition of the fπ and fω ghost distributions »

Claude Esling¹, Jacques Muller² et Hans-Joachim Bunge<sup>3

1</sup>  Laboratoire de Métallurgie Structurale, Ile du Saulcy, F-57000 Metz, France
²  Institut de Mathématiques, rue R. Descartes, F-67000 Strasbourg, France
³  Institut für Metallkunde und Metallphysik der TU Clausthal, F.R.G.

Abstract
A recent work [1], using efficient group theory methods, has established an inversion formula for pole figures which had been proposed, but not justified, by S. Matthies [2]. Since the experimental pole figures are centrosymmetrical either by the centrosymmetry of the crystals or by virtue of Friedel's law, the application of this inversion formula determines only the even part f(g) of the texture function. The use of the same centralization methods has established, with minimal calculation, an integral formula expressing f(g) in terms of f(g). So, it is rigorously proved that f(g) makes restitution only of the half of f(g), flanked by two ghost distributions f&Pi and fΩ. In his short note [2], S. Matthies had suggested a similar formula, but for a different order of the multiple integrals in the term fΩ. Our work shows that the integration sequence as given by S. Matthies, if formally obeyed, can lead to the divergence of the term fΩ. The present work also shows that the interpretation of the ghosts f&Pi and fΩ becomes obvious in terms of generalized functions.

Résumé
Dans un récent travail [1], l'utilisation de méthodes efficaces de la théorie des groupes a permis d'établir une formule d'inversion des figures de pôles que S. Matthies avait proposée, sans justification, dans une note brève [2]. Comme les figures de pôles expérimentales sont centrosymétriques soit par la centrosymétrie des cristaux, soit par effet de la loi de Friedel, l'application de cette formule d'inversion ne détermine que la partie paire f(g) de la fonction de texture. L'utilisation des mêmes méthodes de centralisation a permis d'établir, au prix d'un minimum de calculs, une formule intégrale exprimant f(g) en fonction de f(g). Ainsi il est rigoureusement démontré que f(g) ne restitue que la moitié de f(g), flanquée de deux distributions fantômes f&Pi et fΩ. Dans sa note brève [2], S. Matthies avait proposé une formule similaire, avec toutefois un ordre différent pour les intégrales multiples du terme fΩ. Notre travail montre que l'ordre d'intégration donné par S. Matthies, respecté littéralement, peut conduire à la divergence du terme fΩ. Enfin, le présent travail montre que l'interprétation des fantômes f&Pi et fΩ devient particulièrement manifeste en termes de fonctions généralisées.

PACS
8140E - Cold working, work hardening; annealing, post-deformation annealing, quenching, tempering recovery, and crystallization.

Key words
texture