Issue
J. Phys. France
Volume 48, Number 6, juin 1987
Page(s) 971 - 978
DOI https://doi.org/10.1051/jphys:01987004806097100
J. Phys. France 48, 971-978 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:01987004806097100

The random map model: a disordered model with deterministic dynamics

B. Derrida1 et H. Flyvbjerg2

1  Institute for Theoretical Physics, University of California Santa Barbara, CA 93106, U.S.A.
2  The Nields Bohr Institute, University of Copenhagen Blegdamsvej 17, DK-2100 Copenhagen ∅, Denmark


Abstract
The random map model is a simple disordered system with deterministic dynamics. For each point in phase space, one chooses at random another point in phase space as being its successor in time. Phase space is broken into basins of several attractors. We obtain the analytic expression for the probability distribution f(Ws) of the weights Ws, where Ws denotes the normalized size of the basin of the s-th attractor. We also compute the probability distribution π (Y) of Y where Y is defined by Y = Σ W2s . When we compare s f(W) and π (Y) in the random map model and in the mean field theory of spin glasses, we find that the shapes are very similar in both models but the analytic expressions are different.


Résumé
Le modèle d'application aléatoire que nous considérons est un modèle désordonné simple dont la dynamique est aléatoire. Pour chaque point de l'espace des phases, on choisit au hasard un autre point de l'espace des phases comme étant son successeur. L'espace des phases se décompose en plusieurs bassins d'attraction. Nous obtenons l'expression analytique de la distribution f(Ws) des poids Ws où Ws représente la taille normalisée du bassin du s-ième attracteur. Nous calculons aussi la distribution π(Y) de Y ou [FORMULE]. Quand on compare f( W) et π (Y) du modèle du mapping aléatoire avec ce qui a été obtenu dans la s théorie du champ moyen des verres de spins, on trouve que, dans les deux problèmes, ces lois des probabilité ont des formes très semblables mais des expressions différentes.

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).

Key words
Ising model -- lattice theory and statistics -- random processes