Champs électromagnétiques aléatoires : formalisme général et obtention de la loi de radiation de Planck

Abstract
We study stochastic electromagnetic fields in the vacuum as a stationary process in the space-time. Describing them by linear functionnals from a Hilbert space of functions in a Hilbert space of random variables, and systematically using the spectral representation of matrix-valued correlation functions, we obtain more simple calculations for random electrodynamics. As an illustration, we study the stability of the radiation spectrum against scattering, and the energy balance, for oscillators considered as linear filters. For those oscillators, moving in an isotropic random field, in the nonrelativistic approximation, we show that, with time, the kinetic energy tends towards a limit, independent of the initial velocity. Then, revising an argument expressed by Einstein and Hopf (1910) and Boyer (1969) about the derivation of the blackbody radiation spectrum based on classical theory, we first obtain the Rayleigh-Jeans radiation law, using however an unacceptable calculation, because some of the involved integrals are divergent. After renormalization of the kinetic energy, taking the Lorentz-invariant electromagnetic radiation into account, we obtain the Planck radiation law, whose classical derivation is thus more satisfactory than that which leads to the Rayleigh-Jeans law.

Résumé
Nous étudions les champs électromagnétiques aléatoires du vide comme des processus stationnaires dans l'espace-temps. En les décrivant par des fonctionnelles linéaires d'un espace de Hilbert de fonctions dans un espace de Hilbert de variables aléatoires, et en utilisant systématiquement la décomposition spectrale des fonctions matricielles de corrélation, nous obtenons, pour l'électrodynamique stochastique, des méthodes de calcul plus simples. Comme illustration, nous étudions la stabilité du spectre du champ aléatoire après diffusion, et le bilan d'énergie pour des oscillateurs considérés comme des filtres linéaires. Pour ces oscillateurs, en mouvement dans un champ aléatoire isotrope, à l'approximation non relativiste, nous montrons qu'avec le temps, l'énergie cinétique tend vers une limite indépendante de la vitesse initiale. Reprenant un argument de Einstein et Hopf (1910) et de Boyer (1969), pour l'obtention du spectre de radiation du corps noir par un calcul classique, nous aboutissons d'abord à la loi de radiation de Rayleigh-Jeans, mais par un calcul inacceptable du fait que certaines intégrales sont divergentes pour cette loi. En renormalisant l'énergie cinétique, compte tenu de la radiation électromagnétique invariante de Lorentz, nous obtenons la loi de Planck, par un calcul classique plus satisfaisant que celui qui conduit à la loi de Rayleigh-Jeans.