J. Phys. France 45, 49-63 (1984)
DOI: 10.1051/jphys:0198400450104900

Structure of Bénard convection cells, phyllotaxis and crystallography in cylindrical symmetry

N. Rivier^{1, 2}, R. Occelli², J. Pantaloni² et A. Lissowski<sup>1, 3

1</sup>  Blackett Laboratory, Imperial College, London SW7 2BZ, U.K.
²  Dynamique des Fluides, Université de Provence, 13000 Marseille, France
³  Dept. of Psychology, Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland

Abstract
This paper is concerned with crystallography in two spatial dimensions, in the presence of cylindrical symmetry. Defects (non-hexagonal cells) are imposed by the symmetry and glide circles are necessary to dissipate a weak, steady shear associated with the earth's rotation. Glide circles occur naturally in phyllotaxis (leaf or floret arrangement), and the structure of daisies represents the first stage of the construction of Bénard patterns. Both types of structures can be generated by an elementary algorithm, which constitutes a physical application of number theory. The structures are self-similar and locally homogeneous. They are generated by a single, irrational number λ. Homogeneity imposes λ to be a Noble number and explains the pervasiveness of Fibonacci numbers in phyllotaxis. Once the ideal structure is constructed, melting can be simulated and analysed.

Résumé
Ceci concerne la cristallographie à deux dimensions en symétrie cylindrique. Des défauts (cellules non hexagonales) sont introduits nécessairement par la symétrie, et, dans les structures de Bénard, des cercles de glissement de dislocations servent à dissiper un faible cisaillement du à la rotation terrestre. Des cercles de glissement apparaissent naturellement en phyllotaxie (arrangement des florets dans les fleurs composées) et la structure des marguerites, ananas, etc., constitue la première étape de la construction de structures de Bénard. Toutes ces structures sont engendrées par un algorithme élémentaire de Théorie des Nombres. Elles sont auto-similaires et localement homogènes, engendrées par un seul nombre irrationnel λ. L'homogénéité demande que λ soit un nombre Noble, et explique la prolifération des nombres de Fibonacci en phyllotaxie. Une fois la structure construite, il est élémentaire de simuler et d'analyser sa fonte.

PACS
6150A - Theory of crystal structure, crystal symmetry; calculations and modeling.

Key words
crystal symmetry -- flow instability -- space groups