On the "statistics" of primes

Abstract
The Dirichlet series of the multiplicative theory of numbers can be reinterpreted as partition functions of solvable quantum mechanical systems. In particular the pole of the Riemann zeta function at s = 1 can be understood as a "phase transition". More precisely there is an ultraviolet "Hagedorn catastrophy" due to the exponential density of the energy levels. We illustrate the dictionary between Number Theory and special cases of Quantum Statistical Mechanics by studying a number of interesting gases of free particles, in one example we obtain a boson-fermion equivalence. Phase transitions are usually associated with zeroes of the partition functions here we have an explicit pole.

Résumé
On peut réinterpréter les séries de Dirichlet de la théorie multiplicative des nombres comme des fonctions de partitions de systèmes quantiques solubles. En particulier le pôle de la fonction zèta de Riemann à s = 1 peut-être compris comme une "transition de phase". Plus précisement la densité exponentielle des niveaux provoque une "catastrophe ultraviolette de Hagedorn". Nous illustrons le dictionnaire entre la théorie des nombres et des cas particuliers de la mécanique statistique quantique en étudiant quelques exemples intéressants de gaz de particules libres, l'un d'eux réalise une équivalence entre bosons et fermions. On connaissait le lien entre transitions de phase et zéros de la fonction de partitions, on trouve ici un pôle explicite.