Non-integrable quantum phase in the evolution of a spin-1 system : a physical consequence of the non-trivial topology of the quantum state-space

Abstract
When a quantum state evolves in such a way as to describe a closed loop in the space of pure state density matrices, it must, as a consequence of the non trivial topology of this space acquire a path-dependent phase. When the state vector | ψ > evolution is such that < ψ | d/dt | ψ > = 0, the resulting phase is that introduced by Aharanov and Anandan (thereafter called the A.A. phase). Mathematically this condition corresponds to a parallel transport of | ψ > by a connection defined on a fiber bundle. This paper contains an elementary and self-contained discussion of the A.A. phase for a spin-1 system. In this case, the phase appears as the holonomy of the natural connection over the complex projective space P 2(C). Experimental verification of these ideas requires expressions for both the phase in terms of the path and a Hamiltonian which will parallely transports the state vector along the path. They are given in terms of four directly measurable quantities which parametrize the pure state spin-1 density matrices. It is not possible to measure directly the A.A. phase on an isolated system ; it requires the separating and subsequent bringing together of two subsystems which undergo different evolutions. We suggest two ways in which, in principle, the A.A. phase might be measured in the laboratory.

Résumé
Quand un système quantique évolue de façon à décrire un chemin fermé dans l'espace des matrices densités, il doit acquérir, comme conséquence de la topologie non triviale de cet espace, une phase dépendante du chemin. Pour une évolution du vecteur d'état | ψ > telle que <ψ | d/dt | ψ > = 0, la phase résultante est celle introduite par Aharonov et Anandan (appelée par la suite la phase A.A.). Mathématiquement, cette condition correspond à un transport parallèle de | ψ > associé à une connection sur un espace fibré. Ce travail contient une discussion élémentaire, ne nécessitant aucune connaissance préalable des concepts mathématiques mis en jeu, de la phase A.A. pour un système de spin 1. Cette phase apparaît alors comme l'holonomie de la connection naturelle définie sur l'espace complexe projectif P 2(C). Une vérification expérimentale de ces idées requiert les expressions, d'une part de la phase, par une intégrale de contour, d'autre part d'un hamiltonien qui réalise le transport parallèle du vecteur d'état. Ces expressions sont données en termes de quatre quantités directement mesurables, qui paramétrisent la matrice densité d'un spin 1 dans un état pur. Il n'est pas possible de mesurer directement la phase A.A. sur un système isolé. On doit opérer une séparation, puis une réunion, de deux sous-systèmes qui subissent des évolutions différentes. Nous suggérons deux types de méthode qui, en principe, pourraient conduire à une détermination expérimentale de la phase A.A.