J. Phys. France 50, 1041-1055 (1989)
DOI: 10.1051/jphys:019890050090104100

Berry phases for quadratic spin Hamiltonians taken from atomic and solid state physics: examples of Abelian gauge fields not connected to physical particles

C. Bouchiat

Laboratoire de Physique Théorique, E.N.S. Paris , 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France

Abstract
This paper contains an evaluation of the Berry phases associated with the following class of nonlinear spin Hamiltonians : H (B, n ) = γS S · B + γQ((S · n) 2 - S2/3), with B · n = 0. Examples of these Hamiltonians are given in Atomic and Solid State Physics. We compute exactly the Berry phases for S = 1, 3/2 and for S > 3/2, to second order with respect to the ratio γQ/(γS B ). The results involve loop integrals of an Abelian gauge field which can be considered as a generalization of the magnetic monopole field, the projective complex plane P2(C) playing the role of the sphere S2. In the case of the spin-1 the relation between the Aharonov and Anandan cyclic quantum phase and the Berry adiabatic phase is made explicit. The connection between the semiclassical limit of the Berry phase and the classical adiabatic Hannay angle is analyzed using the classical spin model recently proposed by Nielsen and Rohrlich.

Résumé
Cet article contient une évaluation de la phase de Berry pour des systèmes de spin gouvernés par la classe suivante de Hamiltoniens non linéaires : H(B, n) = γS S · B + γ Q((S · n )2 - S2/3), avec B · n = 0. On donne des exemples de ces Hamiltoniens pris en Physique Atomique et en Physique du Solide. On calcule exactement les phases de Berry pour S = 1, 3/2 et pour des spins plus élevés, jusqu'au second ordre dans le rapport γQ/(γS B ). Les résultats sont donnés en termes de la circulation le long d'une courbe fermée d'un champ de jauge Abélien qui peut être considéré comme la généralisation du champ d'un monopole magnétique, le plan complexe projectif P2(C) jouant le rôle de la sphère S2. Dans le cas du spin 1 on explicite la relation entre la phase quantique cyclique de Aharonov et Anandan et la phase de Berry. On analyse la correspondance entre la limite semi-classique de la phase de Berry et l'angle adiabatique de Hannay, dans le cadre du modèle de spin classique proposé récemment par Nielsen et Rohrlich.

PACS
7510D - Crystal-field theory and spin Hamiltonians.
0365S - Semiclassical theories and applications.
0370 - Theory of quantized fields.

Key words
gauge field theory -- quantum theory -- spin Hamiltonians