J. Phys. France 45, 505-516 (1984)
DOI: 10.1051/jphys:01984004503050500

A nonlinear stability analysis of a model equation for alloy solidification

D.J. Wollkind¹, D.B. Oulton² et R. Sriranganathan<sup>3

1</sup>  Department of Applied Mathematics, Washington State University, Pullman, Washington 99164-2930, U.S.A.
²  Department of Mathematics, Virginia Wesleyan College, Norfolk, Virginia 23502, U.S.A.
³  Department of Mathematics, University of Idaho, Moscow, Idaho 83843, U.S.A.

Abstract
A weakly nonlinear stability analysis of the Stuart-Watson type is performed on the planar interface solution to the Sivashinsky model equation for dilute binary alloy solidification. The Landau constant appearing in the amplitude equation is calculated by means of both a direct method of solution and the traditional more indirect one of employing the adjoint linear eigenvector. It is concluded that for moving boundary problems of this sort the direct method is superior to the adjoint operator method especially in those instances where the solution itself is desired and not merely just the solvability condition. In addition, the discrepancy cited by Caroli et al. (J. Physique 43 (1982) 1767) between their formula for the Landau constant, calculated by a direct method, and that of Wollkind and Segel (Philos. Trans. R. Soc. London 268 (1970) 351), calculated by an adjoint operator method which should have yeilded identical results, is resolved in favour of the latter authors.

Résumé
Une analyse de stabilité non linéaire du type Stuart-Watson est effectuée sur l'équation de Sivashinsky à propos de la solidification d'un alliage binaire le long d'un interface plan. La constante de Landau qui apparaît dans l'équation régissant l'amplitude est calculée à l'aide à la fois d'une méthode de résolution directe et de la méthode indirecte traditionnelle utilisant le vecteur propre linéaire adjoint. On conclut que la méthode directe est la meilleure pour le problème d'une paroi mobile surtout si on est intéressé par la solution elle-même et pas seulement par les conditions de solubilité. De plus, la différence citée par Caroli et al. (J. Physique 43 (1982) 1767) entre leur formule pour la constante de Landau, calculée par une méthode directe, et celle de Wollkind et Segel (Philos. Trans. R. Soc. London 268 (1970) 351) calculée par la méthode de l'opérateur adjoint est résolue en faveur de cette dernière.

PACS
8130F - Solidification.

Key words
dilute alloys -- solidification