Stability of nematic liquid crystal configurations

Abstract
This paper illustrates the use of the geodesic surface for studying the stability and bistability of nematic liquid crystal states. A liquid crystal state (or configuration) θ(z), Φ(z) defines a path on the geodesic surface. The surface is chosen such that the energy of an equilibrium configuration is proportional to the square of its path length, and hence the path of a stable state is a shortest path on the surface. The surface is helpful not only in picturing the equilibrium configurations that result from prescribed boundary conditions, but also in discussing their stability and the possibility of bistable states. This paper shows how the shape of the geodesic surface depends on the elastic constants, and uses the surface to discuss the stability of certain nematic liquid crystal states. For example, an interesting problem is the stability of the planar vertical (V) and 180° twisted (T) states proposed for displays [Boyd, Cheng, and Ngo, Appl. Phys. Lett. 36 (1980) 556]. The path of the V state is in a vertical plane through the pole of the surface, but there is a shorter path belonging to the T state if the values of θ at the boundaries are larger than a critical angle [Porte and Jadot, J. Physique 39 (1978) 213]. The geodesic surface makes apparent the existence of this critical boundary tilt bias angle, provides an easy derivation of the stability limits for the 180° twisted states with θ = π/2 and with sin2 θ = 1/2(1 - k2/k 3), and allows visualization of the energy relationships of topologically equivalent states.

Résumé
Cet article illustre l'utilisation de la surface géodésique pour étudier la stabilité et la bistabilité des états des cristaux liquides nématiques. Un état (ou configuration) d'un cristal liquide θ(z), Φ(z) définit un chemin sur la surface géodésique. La surface est choisie de telle sorte que l'énergie d'une configuration d'équilibre soit proportionnelle au carré de la longueur du chemin et de ce fait le chemin d'un état stable est le chemin le plus court sur la surface. La surface est utile non seulement pour illustrer les configurations d'équilibre qui découlent des conditions définies a la surface du cristal liquide, mais aussi pour discuter leur stabilité et les possibilités d'états bistables. Cet article montre comment la forme de la surface géodésique dépend des constantes élastiques et utilise la surface pour discuter la stabilité de certains états de cristaux liquides nématiques. Par exemple, un problème intéressant est la stabilité de l'état planaire vertical (V) et de l'état en hélice avec une torsion de 180° (T) proposés pour des affichages [Boyd, Cheng et Ngo, Appl. Phys. Lett. 36 (1980) 556]. Le chemin de l'état V est contenu dans un plan vertical à travers le pôle de la surface, mais il existe un chemin plus court appartenant à l'état T si les valeurs de 0 à la surface sont plus grandes qu'un angle d'inclinaison critique [Porte et Jadot, J. Physique 39 (1978) 213]. La surface géodésique rend apparente l'existence de cet angle d'inclinaison critique, apporte une dérivation aisée des limites de stabilités pour les états en hélice à 180° avec θ = π/2 et avec sin2 θ = 1/2 (1 - k2/ k3) et permet la visualisation des relations énergétiques d'états topologiquement équivalentes.