J. Phys. France 42, 413-417 (1981)
DOI: 10.1051/jphys:01981004203041300

Liquid crystals and geodesics

R.N. Thurston¹ et F.J. Almgren<sup>2

1</sup>  Bell Telephone Laboratories, Inc., Holmdel, New Jersey 07733, U.S.A.
²  Department of Mathematics, Princeton University, Princeton, New Jersey 08540, U.S.A.

Abstract
Since a unit vector n is a point on the unit sphere, any one-dimensional liquid crystal configuratior n(z), a ≤ z ≤ b, generates a path on the unit sphere. In order to see what configurations are stable, we map the unit sphere onto a surface G having the property that equilibrium configurations of a nematic liquid crystal map into geodesic lines on the surface (geodesics). The shape of the surface depends on the elastic constant ratios k1/k3 and k2/k3, and is a sphere when all three constants are equal. A picture or model of the surface for a particular material is helpful in visualizing the equilibrium configurations that correspond to prescribed boundary conditions n(a) and n(b), and in studying their energy and stability. For example, a configuration n(z) is in stable equilibrium if and only if the path on G is a curve of least length among nearby curves having the same end points, and arc length ds on G is proportional to dz. The physical interpretation of the proportionality of ds to dz is that the elastic free energy density of the liquid crystal is a constant, independent of z.

Résumé
Puisqu'un vecteur unitaire n est un point sur la sphère unitaire, toute configuration unidimensionnelle de cristal liquide n(z), avec a ≤ z ≤ b, engendre un chemin sur cette sphère. Pour observer quelles configurations sont stables, nous transformons la sphère unitaire en une surface G telle que les configurations d'équilibre d'un cristal liquide nématique soient transformées en des lignes géodésiques à la surface. La forme de la surface dépend des rapports de constantes élastiques k 1/k3 et k2/k3 ; c'est une sphère lorsque les trois constantes sont égales. Un modèle de la surface pour un matériau particulier est utile pour visualiser les configurations d'équilibre correspondant aux conditions de surface, prescrites n(a) et n(b), et pour étudier leur énergie et leur stabilité. Par exemple, une configuration n(z) est en équilibre stable si, et seulement si le chemin sur G est le plus court parmi ceux ayant les mêmes extrémités et si la longueur de l'arc ds sur G est proportionnelle à dz. L'interprétation physique de la proportionnalité entre ds et dz est que la densité d'énergie élastique libre du cristal liquide est une constante indépendante de z.

PACS
6130C - Molecular and microscopic models and theories of liquid crystal structure.

Key words
liquid crystals -- nematic liquid crystals