Short range correlation between elements of a long polymer in a good solvent

Abstract
Correlation properties of a long polymer in a good solvent are studied with the help of renormalization techniques. The probability distribution of the vector r joining, in a space of dimension d, the end points of a polymer segment made of N links, is a function Ps,N(r), where s is an index referring to various situations. Case s = 0 : the segment coincides with the polymer itself. Case s = 1 : the segment is at one extremity of an infinite polymer. Case s = 2 : the segment is located in the central part of an infinite polymer. It is shown that the probability distributions obey scaling laws of the form Ps,N(r) = N-νd fs (r/N ν), that, for small x, fs(x) ∝ x θs and that the indices θ0, θ1, θ 2 are given by the renormalization of simple vertices. The second order expansions of these indices with respect to ε = 4 - d have been calculated. The results are : Estimations of these indices for d = 3 give θ0 = 0.273, θ1 = 0.46, θ 2 = 0.71. These results show that the probability of contact of the end points of a segment made of N links, belonging to the central part of an infinite polymer is proportional to N-ν(d+θ2 )≈ N-2.18. This conclusion agrees with the fact, predicted by the author, that for N>> 1, the dominant terms of the energy E of a polymer made of N monomers, are of the form E = aN + b, in a good solvent.

Résumé
Certaines propriétés de corrélation d'un polymère en bon solvant sont étudiées à l'aide de techniques de renormalisation. La distribution de probabilité d'un vecteur r, joignant, dans un espace de dimension d, les extrémités d'un segment de polymère, formé de N maillons est une fonction Ps,N(r) où s est un indice qui se réfère à des situations diverses. Cas s = 0 : le segment coincide avec le polymère lui-même. Cas s = 1 : le segment constitue l'une des extrémités d'un polymère infini. Cas s = 2 : le segment est situé dans la partie centrale d'un polymère infini. On montre que les distributions de probabilité obéissent à des lois d'échelle de la forme que, pour x petit, fs(n) ∝ xθs et que les indices θ0, θ1' θ2 sont donnés par la renormalisation de vertex simples. Les développements de ces indices au deuxième ordre en ε = 4 - d ont été calculés. Les résultats sont Des estimations de ces indices pour d = 3 donnent Ces résultats montrent que la probabilité de contact entre les extrémités d'un segment formé de N maillons, appartenant à la partie centrale d'un polymère infini est proportionnelle à N-v(d+θ2) = N-2,18. Cette conclusion s'accorde avec le fait prévu par l'auteur que, pour N >> 1, les termes dominants de l'énergie E d'un polymère formé de N monomères sont de la forme E = aN + b en bon solvant.