On the (non linear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid

Abstract
A two-parameter perturbation scheme for the thermohydrodynamic description of a horizontal layer of a single component arbitrary fluid heated from below (Rayleigh-Bénard problem) is presented here. The first approximation leads to the Boussinesq-Oberbeck equations. This agrees with previous results obtained by Mihaljan [Astrophys. J. 136 (1962) 1126]. Contrary to Mihaljan's theory however, the series expansion given here is free from inherent difficulties in obtaining higher order approximations viz. non-Boussinesq effects. This is done by choosing a suitable adiabatic hydrostatic reference field and two parameters of the same order of magnitude. In a well defined limit the theory presented here recovers earlier results obtained by Malkus (as yet unpublished) for dilute ideal gas layers.

Résumé
La description thermohydrodynamique d'une fine couche horizontale de fluide quelconque, chauffée par le bas (problème de Rayleigh-Bénard) est effectuée ici par une méthode perturbative à deux paramètres. Au premier ordre de perturbation on obtient les équations dites de Boussinesq-Oberbeck, en accord avec des résultats antérieurs de Mihaljan [Astrophys. J., 136 (1962) 1126]. Les difficultés inhérentes à la méthode d'obtention des termes d'ordre supérieur sont ici (contrairement à la théorie de Mihaljan) exclues du développement. Ceci est rendu possible par un choix convenable d'un champ adiabatique hydrostatique de référence et de deux paramètres ayant le même ordre de grandeur. Dans une limite bien précise la théorie présentée ici recouvre d'anciens résultats obtenus par Malkus pour des couches de gaz dilué.