J. Phys. France 36, 281-291 (1975)
DOI: 10.1051/jphys:01975003604028100

The Lagrangian theory of polymer solutions at intermediate concentrations

J. des Cloizeaux

Service de Physique Théorique, Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, BP 2, 91190 Gif-sur-Yvette, France

Abstract
De Gennes has shown that the properties of an isolated polymer in a solution (a chain with excluded volume) can be deduced within the framework of a Lagrangian theory for a zero component field in the absence of an external field. This result in generalized to the case of polymer solutions at intermediate concentrations. It is shown that a grand ensemble of polymers can be described by using a Lagrangian theory for a zero component field coupled to an external field. The concentrations Cp of polymers (chains) and C m of monomers (links) are fixed by two chemical potentials. It is shown that the osmotic pressure obeys a scaling law of the form (P/KTCp) = F(Cp N3ν) where N is the mean number of monomers per polymer (N = Cp/C m) and ν the critical index defining the size of a long isolated polymer. The function F(λ) can be expanded in powers of λ and it is given implicitly by the generating functional of the zero-momentum vertex functions derived from the Lagrangian theory. The results seem to be in good agreement with experiments.

Résumé
De Gennes a montré que les propriétés d'un polymère isolé en solution pouvaient être déduites de l'étude d'une théorie Lagrangienne pour un champ à zéro composante sans champ extérieur. Ce résultat est généralisé au cas de solutions de polymères à des concentrations intermédiaires. On montre qu'un grand ensemble de polymères peut être décrit en utilisant une théorie Lagrangienne pour un champ à zéro composante, couplé à un champ extérieur. Les concentrations Cp de polymères (chaines) et Cm de monomères (maillons de chaines) sont fixées par deux potentiels chimiques. On montre que la pression osmotique obéit à une loi d'échelle de la forme (P/KTCp) = F(Cp N3ν) où N est le nombre moyen de monomères par polymère (N = Cm/Cp) et ν l'indice critique définissant la taille d'un long polymère isolé. La fonction F(λ) peut être développée en puissances de λ; elle est donnée implicitement par la fonction génératrice des fonctions de vertex à moments nuls, tirée de la théorie Lagrangienne. Les résultats semblent en bon accord avec l'expérience.

PACS
6125 - Studies of specific liquid structures.
6470 - Specific phase transitions.
8105L - Polymers and plastics; rubber; synthetic and natural fibers; organometallic and organic materials.

Key words
polymers -- solutions