Quasiperiodic patterns and icosahedral symmetry

Abstract
We develop a theory of quasiperiodic tilings and more general quasiperiodic patterns with long range orientational order. We use a variant of the projection method which is called the strip method. The icosahedral case is specially investigated in view of the quasicrystals of the type Al-Mn. Our method allows the study of the local properties (such as the classification of the vertex neighbourhoods) as well as the global ones, and an analytic expression of the Fourier transform is derived, exhibiting the quasiperiodicity. We generalize classical notions of crystallography and propose a method for indexing the diffraction patterns.

Résumé
Nous développons une théorie des pavages et plus généralement des structures quasi périodiques présentant un ordre orientationnel global. Nous utilisons à cette fin une méthode de projection que nous appelons la méthode de la bande. Le cas de la symétrie icosaédrique est particulièrement étudié en vue de l'application aux quasi-cristaux du type aluminium-manganèse. La méthode proposée donne accès aux propriétés tant locales (classification des environnements possibles de chaque site) que globales (calcul explicite de la transformée de Fourier). Nous généralisons des notions classiques de cristallographie et proposons une méthode pour l'indexation des figures de diffraction.