Approximate icosahedral periodic tilings with pseudo-icosahedral symmetry in reciprocal space

Abstract
We characterize, by classical results of geometry of numbers, 3D periodic tilings of any Bravais lattice built with the prolate and oblate Ammann rhombohedra (the prototiles of 3D Penrose tilings) such that the Fourier transform of all the vertices of the tiling almost presents the icosahedral symmetry. An analytical expression of the displacements of the intense peaks from the exact icosahedral symmetry is given. We prove that exact icosahedral positions are located on the projection of a lattice of R6, stable under the action of the icosahedral group.

Résumé
Nous caractérisons, par des résultats classiques de géométrie des nombres, les pavages périodiques 3D de réseau de Bravais quelconque, construits avec les gros et petits rhomboèdres d'Ammann (les prototuiles des pavages de Penrose 3D) tels que la transformée de Fourier de tous les sommets du pavage présente presque la symmétrie icosaédrique. Une expression analytique des déplacements des pics intenses par rapport à la symétrie icosaédrique parfaite est donnée. On prouve que les positions icosaédriques exactes sont situées sur la projection d'un réseau de R6, stable sous l'action du groupe de l'icosaèdre.