J. Phys. France 51, 2167-2185 (1990)
DOI: 10.1051/jphys:0199000510190216700

Spectrum of 2D Bloch electrons in a periodic magnetic field : algebraic approach

A. Barelli, J. Bellissard et R. Rammal

Centre de Physique Théorique, CNRS Luminy, Case 907, 13288 Marseille, France

Abstract
Algebraic methods recently introduced for 2D Bloch electrons in a uniform magnetic field are extended to the case of periodic magnetic fields. Using a semiclassical approach, we investigate the case where the magnetic unit cell is commensurate with the lattice unit cell. In general and according to the value Φ of the average flux through the magnetic unit cell, two distinct cases take place. The first one corresponds to finite values of Φ, where the usual structure of Landau levels is recovered (non commutative case). In the second case where Φ = 0, a non trivial band structure is obtained (commutative case). Our results are illustrated by simple examples. In particular we show that, under certain conditions, the mechanism of stabilization of the Fermi sea by the gaps (with one quantum flux per fermion) holds in the general case of periodic magnetic fields.

Résumé
Résume. - Les méthodes algébriques que l'on a introduites récemment pour l'étude des électrons de Bloch sous champ magnétique uniforme sont généralisées au cas des champs periodiques. En utilisant une approche semi-classique, on étudie le cas où la maille magnetique est commensurable avec celle du réseau. En general et selon la valeur Φ du flux magnétique moyen a travers la cellule 616mentaire, deux cas distincts semblent se distinguer. Le premier cas est 0 =A 0, où la structure en niveaux de Landau est retrouvée (cas non commutatif). Dans le second cas Φ = 0, on obtient une structure de bandes non triviale (cas commutatif). Nos résultats sont illustrés avec des exemples simples. En particulier on montre, sous certaines conditions, que le mecanisme de stabilisation de la mer de Fermi, avec un quantum de flux par fermion, se généralise au cas d'un champ magnétique périodique.

PACS
7145 - Collective effects.
7115A - Basis sets (LCAO, plane-wave, APW, etc.) and related methodology (scattering methods, ASA, linearized methods, etc.).
7110 - Theories and models of many-electron systems.

Key words
band theory models and calculation methods -- electron energy states condensed matter -- Landau levels