J. Phys. France 51, 1569-1583 (1990)
DOI: 10.1051/jphys:0199000510150156900

Excitation spectrum, extended states, gap closing : some exact results for codimension one quasicrystals

Clément Sire et Rémy Mosseri

Laboratoire de Physique des Solides de Bellevue-CNRS, 1 place Aristide Briand, 92195 Meudon Cedex, France

Abstract
In this paper, we study a tight-binding Hamiltonian for codimension one quasicrystals by means of a new numbering which orders the sites according to their environment. This includes the general 1D quasiperiodic chain. We exhibit exact extended wave functions on approximants for the general quasiperiodic chain, for which we define a « quasi-Bloch » vector. These extended states can be shown to be degenerate. Moreoever, some of them correspond to energies where gaps disappear, when the tight-binding parameters vary. We also exhibit a surface of the three dimensional space of parameters, which intersects the spectrum of all 1D quasiperiodic chains which can be generated by the standard cut and projection algorithm from 2D. The consequences of these properties on physical quantities such as the conductivity are briefly discussed. These results, although being general, are illustrated on the Fibonacci chain.

Résumé
Dans cet article, nous étudions un hamiltonien de liaisons fortes pour les quasicristaux de codimension un. Nous utilisons une nouvelle numérotation des sites, qui les ordonne selon leur environnement géométrique. Ceci nous permet de trouver analytiquement des états étendus pour la chaîne linéaire quasi périodique, et de leur associer un pseudo-vecteur de Bloch. Ces états qui s'avèrent dégénérés, correspondent à des énergies pour lesquelles un gap du spectre se referme, quand les paramètres du hamiltonien varient. De plus, nous exhibons une surface de l'espace des paramètres qui coupe le spectre de toutes les chaînes linéaires construites à partir de 2D dans le cadre de la méthode de coupe et projection. Les conséquences de ces résultats sur le comportement de certaines quantités physiques sont brièvement abordées. Enfin, bien que généraux, nous illustrons ces résultats sur la chaîne de Fibonacci.

PACS
7120 - Electron density of states and band structure of crystalline solids.
7123F - Quasicrystals.
7155 - Impurity and defect levels.

Key words
quasicrystals -- tight binding calculations -- wave functions