Numéro
J. Phys. France
Volume 50, Numéro 7, avril 1989
Page(s) 717 - 724
DOI https://doi.org/10.1051/jphys:01989005007071700
J. Phys. France 50, 717-724 (1989)
DOI: 10.1051/jphys:01989005007071700

The arrangement of cells in 3- and 4-regular planar networks formed by random straight lines

M. A. Fortes et P.N. Andrade

Departamento de Engenharia de Materiais, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, 1000 Lisboa, Portugal


Abstract
The relation between mi, the average number of sides in cells adjacent to i-sided cells, and i, was investigated in planar networks of two types, generated by random, Poisson distributed, straight lines. When the lines are continuous, a 4-regular network results. If the lines are interrupted to form T-junctions, a 3-regular network is obtained. In the first case, two types of cell adjacency can be defined and for both mi varies approximately linearly with 1/i. The same applies to the 3-regular network. The linear relations (Aboav's law) can be put in a general form, involving the second moment of the distribution of cell polygonalities and a single parameter, a, as suggested by Weaire.


Résumé
La relation entre le nombre moyen, mi, de côtés dans des cellules adjacentes aux cellules avec i-côtés, et i, a été étudiée dans deux types de réseaux planaires engendrés par une distribution aléatoire (Poisson) de lignes droites. Si les lignes sont continues, le réseau est 4-régulier. Si les lignes sont interrompues, de façon à avoir des jonctions en T, on obtient un réseau 3-régulier. Dans le premier cas, on peut définir deux types d'adjacence entre cellules, et, pour chaque type, on trouve une variation linéaire de m i avec 1/i. Le même résultat s'applique dans le réseau 3-régulier. Les relations linéaires (loi de Aboav) peuvent être mises sous une forme générale, en faisant intervenir le second moment de la distribution de polygonalités des cellules et un seul paramètre, a, comme Weaire l'a suggéré.

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).

Key words
lattice theory and statistics -- random processes