Statistics of a polymer in a random potential, with implications for a nonlinear interfacial growth model

Abstract
We examine and extend recent results for the statistics of a gaussian polymer chain of length t in a quenched random potential μ (r). This problem can be mapped onto one involving the nonlinear evolution equation h (r, t) = ∇2h + (∇h)2 - μ(r) for a growing interface in the presence of a time-independent, but spatially varying, random flux - μ (r). [The corresponding problem for a directed polymer, equivalent to a flux random in both time and space, was studied by M. Kardar, G. Parisi and Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 889.] A free chain in a true white-noise potential, in space dimensions d = 2, 3, is predicted to collapse to a linear size R ˜ v1 /(d - 4)[ln V] 1/(d - 4) where v is the mean-square potential fluctuation (presumed small) and V the volume of the system. This agrees with a recent replica calculation of S. F. Edwards and M. Muthukumar (J. Chem. Phys., 89 (1988) 2435), but with an extra logarithmic dependence on V. The difference between this result and that for an annealed potential is commented upon, with reference to the phenomenon of localization as it applies to polymers in a quenched environment ; the effect of a saturating potential is discussed. In contrast, a chain with one end fixed at a particular place (say at r) is typically arranged as a tadpole consisting of a collapsed head region (occupying a deep minimum of μ) connected to r by an extended tail. The free energy surface of such a chain F (r, t ) consists asymptotically of a series of conical valleys, separated by sharp ridges. Several results for the statistics of this surface are obtained. The evolved profile in the equivalent interfacial growth model is obtained from h (r, t ) = - F (r, t ), and hence corresponds to a series of conical mountains.

Résumé
Nous examinons et généralisons des résultats récents concernant la statistique de chaînes gaussiennes de longueur t dans un potentiel aléatoire figé μ (r). Ce problème peut être mis en correspondance avec l'équation non linéaire d'évolution h (r, t ) = ∇2h + (∇h )2 -μ (r) d'une surface croissant en présence d'un flux aléatoire - μ (r) indépendant du temps mais variant dans l'espace [Le problème correspondant pour un polymère dirigé, qui équivaut à un flux variant dans le temps et l'espace, a été étudié par M. Kardar, G. Parisi et Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 889]. Nous prédisons l'effondrement d'une chaîne libre avec vrai potentiel de bruit blanc en dimensions d = 2, 3 avec une dimension linéaire R ~ v1/(d-4)[ln V]1/(d-4) , où v est la variance du potentiel (supposée petite) et V, le volume du système. Ce résultat est en accord avec un calcul récent de S. F. Edwards et M. Muthukumar (J. Chem. Phys., 89 (1988) 2435) par la méthode des répliques, mais avec une dépendance logarithmique en V supplémentaire. Nous commentons la différence entre le cas du potentiel figé et non figé , faisant référence au phénomène de localisation tel qu'il s'applique aux polymères en environnement figé; nous discutons l'effet d'un potentiel saturant. Au contraire, une chaîne avec une extrémité fixée à une place particulière (soit r) est organisée typiquement en tadpole consistant en une tête effondrée (occupant un minimum profond de μ) reliée à r par une queue étendue. La surface d'énergie libre d'une telle chaîne F (r, t ) est composée asymptotiquement d'une série de vallées coniques séparées par des arêtes aiguës. Nous obtenons plusieurs résultats pour la statistique de cette surface. L'évolution du profil dans le modèle de croissance interfaciale équivalent est obtenue par h (r, t ) = - F (r, t ) et correspond donc à une série de montagnes coniques.