Periodic systems of frustrated fluid films and « bicontinuous » cubic structures in liquid crystals

Abstract
We consider periodic organizations of two fluid media separated by interfaces in which interactions between the two media, normal to the interfaces, maintain constant distances between interfaces and constraints within each medium, parallel to the interfaces, control interfacial curvatures. The structures must therefore conciliate the constant interfacial distances and curvatures imposed by the thermodynamical parameters of the systems. This is a purely geometrical problem whose solutions constitute the foundation of the structures of periodic systems of fluid films. When the interfacial curvature is null, the obvious solution is a periodical stacking of parallel layers. When the curvatures are not null, adjacent interfaces must have curvatures with the same concavities relative to the two media because of the symmetry of the layers and the constant distances between them can no longer be maintained if the lamellar geometry is kept. This is a typical case of frustration which implies a change of structure. We have recently proposed to look for the solutions to this frustration following a geometrical approach which provides solutions whose topologies are similar to those of liquid crystalline phases and which leads to consider the latter as structures of disclinations. We now develop this approach to study the particular case of solutions with bicontinuous topology, i.e. where a film without self-intersection built by one medium separates two labyrinthine nets built by the second medium. We demonstrate that they correspond to configurations in which the film is supported by ordered hyperbolic surfaces having topologies and symmetries similar to those of three infinite periodic minimal surfaces calculated by mathematicians. We discuss the relation between these ordered bicontinuous solutions and the structures determined for cubic liquid crystalline phases, either in amphiphilic systems (Qα) where the two media are paraffinic and polar, or in mesogenic ones (SmD) where the two media are aliphatic and aromatic.

Résumé
On considère les organisations périodiques de deux milieux fluides séparés par des interfaces. Les interactions entre les deux milieux, normales aux interfaces, maintiennent des distances constantes entre interfaces et les contraintes dans chaque milieu, parallèles aux interfaces, contrôlent les courbures interfaciales. Les structures doivent donc concilier les distances et courbures constantes imposées par les paramètres thermodynamiques. Il s'agit là d'un problème purement géométrique dont les solutions constituent les bases des structures de films fluides périodiques. Quand les courbures interfaciales sont nulles, la solution évidente est l'empilement périodique de couches parallèles des structures lamellaires. Quand les courbures ne sont pas nulles, des interfaces adjacents doivent avoir des courbures symétriques incompatibles avec des distances constantes si la symétrie d'une structure lamellaire est conservée. C'est un cas typique de frustration qui implique un changement de structure. Nous avons récemment proposé de rechercher les solutions de cette frustration en suivant une approche géométrique qui fournit des solutions dont les topologies sont semblables à celles des phases liquides cristallines et qui conduit à les considérer comme des structures de disinclinaisons. Nous développons maintenant cette approche pour étudier le cas particulier des solutions de topologie bicontinue, où un film construit par un milieu sépare deux labyrinthes construits par le second milieu. Nous démontrons que ces solutions correspondent à des configurations dans lesquelles le film est supporté par des surfaces hyperboliques ordonnées ayant des topologies et symétries semblables à celles de trois surfaces minimales infinies périodiques calculées par les mathématiciens. Nous discutons la relation entre ces solutions et les structures déterminées pour les phases liquides cristallines cubiques, soit dans les systèmes d'amphiphiles (Qα), soit dans ceux de molécules mésogènes (SmD).