J. Phys. France 48, 1445-1450 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:019870048090144500

Anomalous diffusion in random media of any dimensionality

J.P. Bouchaud¹, A. Comtet², A. Georges³ et P. Le Doussal<sup>3

1</sup>  Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l'Ecole Normale Supérieure , 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France
²  Division de Physique Théorique , Institut de Physique Nucléaire, Université de Paris-Sud, 91406 Orsay Cedex, France
³  Laboratoire de Physique Théorique de l'Ecole Normale Supérieure , 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France

Abstract
We show, through physical arguments and a renormalization group analysis, that in the presence of long-range correlated random forces, diffusions is anomalous in any dimension. We obtain in general surdiffusive behaviours, except when the random force is the gradient of a potential. In this last situation, with either short or long-range correlations, a subdiffusive behaviour with a disorder dependent exponent is found in the upper critical case (D = 2 for short-range correlations). This is because the β-function vanishes, which is explicitly proven at all orders of the perturbation theory. Apart from this case, a potential force is expected to lead to logarithmic diffusion (1/f noise), as suggested by simple arguments.

Résumé
Nous montrons que la diffusion est anormale en toute dimension dans les milieux aléatoires où les forces présentent des corrélations à longue portée. Ce résultat est obtenu à la fois par des arguments physiques et par une analyse de groupe de renormalisation. Les comportements obtenus sont en général surdiffusifs sauf lorsque la force aléatoire dérive d'un potentiel. Dans cette situation on obtient un comportement sousdiffusif. Dans le cas critique supérieur (D = 2 pour des corrélations à courte portée), celui-ci est caractérisé par un exposant dépendant continûment du désordre. La raison en est l'annulation de la fonction β qui est démontrée à tous les ordres de la théorie des perturbations. Dans le cas général, des arguments simples suggèrent qu'une force potentielle conduit à des diffusions logarithmiques (c'est-à-dire à du bruit en 1/f).

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
0560 - Transport processes.
4755M - Flows through porous media.

Key words
diffusion -- flow through porous media -- random processes