A conjecture about the size of a particular cellular automaton : the perfectly growing crystal

Abstract
In order to optimize a computer implementation of the recursion method, (initially proposed by Heine, Haydock and Kelly), we build a cluster from an initial seed of points by adjoining the new sites obtained from the actual cluster by translation of a given set of vectors (the generators), on a lattice. This cluster is organized in shells and a conjecture is given about its size. This conjecture is checked on lattices with inequivalent sites and seems to remain valid this case. The conjecture about the size seems to be related to a self-similarity of the growing cluster. We relate the construction of these clusters to other topics : cellular automata, animals, growth of a crystal and combinatories. We show also how the growing process may be used to generate cluster with grain boundaries.

Résumé
Pour minimiser l'occupation mémoire dans la mise en oeuvre de la méthode récursive, proposée initialement par Heine, Haydock et Kelly, nous avons été amenés à construire un amas à partir d'un ensemble de départ par applications successives d'un ensemble de générateurs sur un réseau. Cet amas est organisé en couronnes et nous donnons une conjecture sur sa taille. Cette conjecture est testée sur des réseaux avec des sites de connectivité différente où elle semble rester exacte ; cette conjecture devrait être comprise à partir de l'aspect auto-similaire de l'amas en croissance. Nous relions cet amas à d'autres aspects : automate cellulaire, animaux, croissance d'un cristal parfait et analyse combinatoire. Nous illustrons également la génération de certain joints de grains par ce procédé.