Critical exponents for Ising-like systems on Sierpinski carpets

Abstract
The critical properties of Ising models on various fractal lattices of the Sierpinski carpet type are studied using numerical simulations. We observe scaling and measure the exponents γ and ν which are then compared to the values which have been recently extrapolated from the Wilson-Fisher ε-expansion in non integer dimensions. It appears that in the general case an effective dimension, in addition to the Hausdorf dimension, is needed to describe the critical behaviour. When these dimensions are equal, our results are then compatible with the conjecture that the fractal lattice could interpolate regular lattices in non integer dimensions.

Résumé
Les propriétés critiques du modèle d'Ising sur divers réseaux fractals du type tapis de Sierpinski sont étudiées par simulation numdrique. On observe les lois d'échelle et on mesure les exposants γ et ν dont les valeurs sont comparées à celles qui ont été récemment obtenues en dimension quelconque par resommation de la série en ε de Wilson-Fisher. Il apparaÎt que pour décrire les propriétés critiques dans le cas général, une dimension effective s'avère nécessaire, en plus de la dimension d'Hausdorf. Lorsque ces deux dimensions sont égales, nos résultats sont compatibles avec la conjecture selon laquelle le réseau fractal interpole les réseaux réguliers en dimension non entière.