J. Phys. France 48, 527-545 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:01987004804052700

Invariant-imbedding approach to localization. II. Non-linear random media

B. Doucot et R. Rammal

Centre de Recherches sur les Très Basses Températures, Centre National de la Recherche Scientifique, BP 166 X, 38042 Grenoble, France

Abstract
By employing an invariant-imbedding method a partial differential equation is derived for the complex reflection amplitude R (L ) of a one-dimensional non-linear random medium of length L. The method of characteristics reduces this equation to a dynamical system. Averaging of the perturbation of orbits by weak disorder is used to investigate the probability distribution of R (L). Two different situations are considered : fixed output w 0 (Problem A) and fixed input (Problem B). For a large class of non-linearities the generic behaviour for Problem A is as follows : i) For weak non-linearities, a crossover between an exponential decay of transmission <t> ∼ exp(- L/4 ξ) at short L and a power law decay at large L is shown to take place at a length scale L * = ξ In (1/w0), ii) Strong non-linearities dominate the full behaviour and give rise to a power law decay. The physical origin of this behaviour is traced back to the enhancement of non-linearities by disorder. For Problem B, the asymptotic behaviour is shown to be always an exponential decay. The fluctuations associated with both regimes are obtained. Random non-linearities are also investigated and shown to lead to a self-repelling phenomenon at finite distances. The relevance of our results to experimental situations is briefly discussed.

Résumé
On utilise une méthode de plongement invariant pour écrire une équation aux dérivées partielles décrivant le coefficient de réflexion par un milieu désordonné non linéaire de longueur L. La méthode des caractéristiques réduit cette équation à un système dynamique. On moyenne l'effet du désordre sur les orbites afin d'étudier la loi de probabilité de R(L). Deux cas sont considérés: sortie fixée W0 (problème A) et entrée fixée (problème B). Pour une grande classe de non-linéarités, le comportement générique pour le problème A est comme suit: i) pour une faible non-linéarité, un changement de régime entre une décroissance exponentielle de la transmission <t> ∼ exp ( - L/4 ξ) à faible L, et une décroissance en loi de puissance à grand L, se produit à une échelle de longueur L *= ξ In (1/W0), ii) pour une forte non-linéarité, le comportement est une loi de puissance en L. L'origine physique est attribuée au renforcement des non-linéarités par le désordre. Pour le problème B, le comportement asymptotique est toujours une décroissance exponentielle. Les fluctuations associées aux différents régimes sont étudiées. Le cas d'une non-linéarité aléatoire est considéré aussi, où un phénomène d'auto-répulsion est mis en évidence, à une distance finie. L'importance de nos résultats pour des situations expérimentales est brièvement discutée.

PACS
0230 - Function theory, analysis.
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.

Key words
nonlinear differential equations -- random processes -- Schrodinger equation -- wave propagation