J. Phys. France 48, 19-24 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:0198700480101900

Accurate critical exponents for Ising like systems in non-integer dimensions

J.C. Le Guillou¹ et J. Zinn-Justin<sup>2

1</sup>  Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies, Université Paris VI, Tour 16, 1er étage, 75230 Paris Cedex 05, France
²  Service de Physique Théorique, Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France

Abstract
In a recent article we have shown that, by applying sophisticated summation methods to Wilson-Fisher's ε-expansion, it is possible from the presently known terms of the series to obtain accurate values of critical exponents for the 0 ( n ) symmetric n-vector model : these values are consistent with the best estimates obtained from three-dimensional Renormalization Group calculations and, in the case of Ising-like systems, with the exactly known two-dimensional values of the Ising model. The controversial conjecture has been recently formulated that some fractal lattices could interpolate regular lattices in non-integer dimensions. Numerical calculations have been done for the Ising model. To allow for direct comparison with Renormalization Group values, we present here estimates for exponents in non-integer dimensions d(1 <d ≤4). By imposing the exactly known 2 d values, we at the same time improve the previous 3 d estimates. Finally we find indications that for 1 < d < 2 the Renormalization Group values are consistent with those obtained from the near planar interface model.

Résumé
Dans un article récent nous avons montré qu'en appliquant des méthodes raffinées de resommation au développement en ε de Wilson-Fisher, nous pouvions obtenir, à partir des termes des séries disponibles actuellement, des valeurs précises pour les exposants critiques du modèle de Heisenberg classique avec symétrie 0 ( n ) : ces valeurs sont en excellent accord avec les résultats tirés de calculs de Groupe de Renormalisation à 3 dimensions, ainsi qu'avec les résultats exacts du modèle d'Ising à 2 dimensions. Récemment divers auteurs ont suggéré qu'il était possible d'utiliser des réseaux fractals pour interpoler les réseaux réguliers en dimension non entière. Des calculs numériques ont été faits pour le modèle d'Ising. De façon à permettre une comparaison directe avec les valeurs du Groupe de Renormalisation, nous présentons ici nos résultats pour les exposants critiques pour des dimensions d non entières (1 < d ≤ 4) . En imposant les valeurs exactes du modèle d'Ising à d = 2, nous améliorons également les valeurs à d = 3. Finalement nous remarquons que les valeurs des exposants extrapolés pour d < 2 ne sont pas en désaccord avec les valeurs tirées du modèle d'interface presque plat.

PACS
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).
0570J - Critical point phenomena.

Key words
critical phenomena -- fractals -- Ising model -- renormalisation