Imperfect Hele - Shaw cells

Abstract
The covering surfaces of a Hele-Shaw cell may be roughened mechanically, or modified by random chemical patches which change the wetting properties. We discuss first the quasi-static injection of a single fluid (with a finite contact angle θe) in an imperfect cell. The shape of the injected region depends critically on a dimensionless number i (ratio of the boundary energy τ over the capillary energy fluctuations in one patch). At τ <<; 1 we expect a « soft » penetration in the form of percolation clusters. At τ ~ 1 we expect a « hard » behaviour; penetration should occur only above a certain coercive pressure, and the boundary is much more stiff. In the soft case, we also consider one dimensional flows, where the fluid advances with a small but finite velocity U (or capillary number Ca). The width l of the front between dry and wet regions should scale like Ca -1. The size ξ of the largest clusters sprouting from the interface is smaller than l and scales with a different exponent.

Résumé
Les surfaces d'une cellule de Hele-Shaw peuvent être dépolies, ou modifiées par des taches de contamination chimique qui modifient les propriétés de mouillage. Nous analysons ici en premier l'injection quasi statique d'un fluide (partiellement mouillant = angle de contact θe fini) dans une telle cellule. La forme de la région injectée dans ce milieu bidimensionnel aléatoire dépend beaucoup d'un paramètre τ (rapport énergie de ligne/énergies de fluctuations dans une tache). Pour τ → 0, on doit avoir un amas de percolation et un comportement de matériaux « doux ». Pour τ 1, on attend un comportement « dur », avec une pénétration qui ne prend place qu'au-dessus d'une certaine pression coercitive pm, et une frontière presque rectiligne. Dans le cas « doux », nous discutons aussi les écoulements unidimensionnels à vitesse U finie mais faible (ou à nombre capillaire Ca <<; 1). La largeur l du front entre régions sèches et humides doit être proportionnelle à Ca-1. La taille ξ des amas les plus grands croissant depuis l'interface moyenne est plus petite que l, et a un exposant d'échelle différent.