Statistical properties of an equation describing fluid interfaces

Abstract
The Kuramoto-Sivashinsky equation which describes fluid interfaces in several physical contexts is known to have chaotic solutions, displaying both space and time disorder. We have investigated numerically several statistical properties of this model. The fluctuations of a local quantity are shown to have a highly non Gaussian distribution; boundary effects and small scale intermittency phenomena are examined. The moments of the fluctuations of the space Fourier transform, which are related to the space correlation functions, are also investigated. The high order moments of large wavenumber fluctuations grow faster than the moments of a Gaussian variable; while the low wavenumber fluctuations are found to be almost Gaussian. Some finite size effects are also discussed. Similarly the fluctuations of the time Fourier transform of a local quantity have been investigated; they share most of the above mentioned property. A similar behaviour is observed in the case of the Lorenz [23] equations. Eventually we introduce correlation functions testing the time symmetry of the fluctuations and compute some of these functions. We use our numerical results to discuss energy transfer process.

Résumé
On sait que les solutions de l'équation de Kuramoto-Sivashinsky, qui décrit des interfaces entre milieux fluides présentent du chaos, aussi bien temporel que spatial. Plusieurs propriétés statistiques de ce modèle ont été étudiées numériquement. On montre que les fluctuations d'une quantité locale ont une distribution fortement non gaussienne; l'influence des conditions aux limites et les phénomènes d'intermittence sont examinés. Les moments des fluctuations de la transformée de Fourier spatiale, naturellement reliés aux fonctions de corrélation ont été aussi étudiés. Aux grands nombres d'onde, les moments des fluctuations croissent plus vite que pour une distribution gaussienne, alors qu'aux bas nombres d'onde, les fluctuations sont pratiquement gaussiennes. Des effets de taille finie sont également discutés. De même, les fluctuations de la transformée de Fourier (temporelle) d'une quantité locale ont été étudiées, elles possèdent des propriétés analogues. Un comportement semblable est obtenu dans le cas des équations de Lorenz [23]. Enfin, on introduit des fonctions de corrélation testant la symétrie dans le renversement du temps, et on calcule plusieurs de ces fonctions. A l'aide des résultats numériques, on discute le processus de transfert d'énergie.