Solutal convection and morphological instability in directional solidification of binary alloys

Abstract
We study the effect of the coupling between front deformation and solutal convection on the position of the bifurcation from the planar quiescent state of a dilute binary alloy submitted to directional solidification. We set up a perturbation treatment of the coupling between the « bare » (Mullins-Sekerka and solutal convective) bifurcations. We show that the shift of the Mullins-Sekerka bifurcation is extremely small at usual values of the applied thermal gradient, and is accurately predicted by the first order perturbation expression. The shift of the convective bifurcation, though much larger, can also be calculated with very good accuracy in the same range of values of the thermal gradient with the help of the first order approximation. We give a qualitative interpretation of these results in terms of an effective Rayleigh number and of the mismatch between the critical wavevectors of the uncoupled system.

Résumé
Nous étudions l'effet du couplage entre déformation du front solide-liquide et convection solutale sur la position de la bifurcation à partir de l'etat plan quiescent pour un alliage binaire dilué soumis à un processus de solidification directionnelle. Nous développons un traitement de perturbation du couplage entre les bifurcations « nues » - correspondant aux instabilités de Mullins-Sekerka et de convection solutale classiques. Nous montrons que le déplacement de la bifurcation de Mullins-Sekerka est extrêmement faible aux valeurs usuelles du gradient thermique appliqué, et calculable à partir de l'expression de perturbation du 1er ordre. Le déplacement de la bifurcation convective, quoique plus important, peut aussi s'obtenir, dans ce domaine de gradients thermiques, avec une bonne précision, par le calcul au premier ordre. Nous donnons une interprétation qualitative de ces résultats en termes d'un nombre de Rayleigh effectif et de l'écart entre les vecteurs d'onde critiques en l'absence de couplage.