Numéro |
J. Phys. France
Volume 45, Numéro 8, août 1984
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Page(s) | 1283 - 1295 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/jphys:019840045080128300 |
DOI: 10.1051/jphys:019840045080128300
Lyapounov exponent of the one dimensional Anderson model : weak disorder expansions
B. Derrida et E. GardnerService de Physique Théorique, CEA-Saclay, 91191 Gif sur Yvette Cedex, France
Abstract
We describe a method which gives the weak disorder expansion (λ → 0) of the Lyapounov exponent γ(E) of a discretized one-dimensional Schrödinger equation ψn+1 + ψ n-1 + λVnψn = Eψn with a random potential Vn. Near the band edge of the pure system (E → 2), the weak disorder expansion of y(E) is non analytic and we show that γ(E) ˜ λ2/3 when λ → 0. At the band centre (E → 0), we recover the anomaly which has already been explained by Kappus and Wegner. We find another anomaly at the energy E = 2 cos (π/3) and we believe that similar anomalies should occur at all energies E = 2 cos (απ) with α rational.
Résumé
Nous présentons une méthode qui donne le développement de faible désordre (λ → 0) de l'exposant de Lyapounov γ(E) d'une équation de Schrödinger à une dimension ψn+1 + ψ n-1 + λVn ψn = Eψn avec un potentiel aléatoire Vn. Près du bord de bande du système pur (E → 2), le développement de γ(E) est non analytique et nous montrons que γ(E) ˜ λ 2/3 pour λ → 0. Au centre de bande (E → 0) nous retrouvons l'anomalie qui a déjà été expliquée par Kappus et Wegner. Nous trouvons une autre anomalie £ l'énergie E = 2 cos (π/3) et nous pen-sons que des anomalies du même type se produisent pour toutes les énergies E = 2 cos (πα) où α est rationnel.
7110 - Theories and models of many-electron systems.
Key words
Anderson model -- band theory models and calculation methods -- Schrodinger equation