J. Phys. France 45, 191-206 (1984)
DOI: 10.1051/jphys:01984004502019100

Spectrum of harmonic excitations on fractals

R. Rammal<sup>1, 2

1</sup>  Laboratoire de Physique de l'Ecole Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris, France
²  Permanent address: CRTBT, CNRS, BP 166X 38042 Grenoble Cedex, France

Abstract
The density of states and the nature of the eigenmodes of the vibrating d-dimensional Sierpinski gasket are investigated. The results hold for the tight-binding or any general quadratic Hamiltonian. For d > 1, the spectral measure is shown to be a superposition of two distinct pure point measures of relative weights d/(d + 1) and 1/(d + 1). The eigenmodes associated with each part are explicitly calculated The first part of the spectrum is associated with localized modes, with non zero amplitudes only on a finite number of sites (molecular modes), whereas the second part is associated with a new kind of states : the hierarchical modes. The influence of the boundary conditions is also elucidated as well as the importance of this kind of spectrum in quantum percolation and incommensurate potentials.

Résumé
La densité d'états et la nature des états propres d'un réseau de Sierpinski à d-dimensions sont étudiées. Les résultats obtenus sont valables aussi pour le modèle de liaisons fortes et pour tout hamiltonien quadratique. Pour d > 1, la mesure spectrale est la superposition de deux mesures purement ponctuelles, de poids relatifs d|(d + 1) et 1/(d + 1). Les modes propres associés sont calculés explicitement. A la première partie du spectre sont associés des modes localisés avec des amplitudes non nulles seulement sur un nombre fini de sites (modes moléculaires), tandis que la seconde partie correspond à un nouveau type d'états : les modes hiérarchiques. L'influence des conditions aux limites est élucidée ainsi que l'importance de ce type de spectre en percolation quantique et pour les potentiels incommensurables.

PACS
6350 - Vibrational states in disordered systems.

Key words
electronic density of states -- lattice dynamics -- lattice theory and statistics -- percolation -- quantum theory -- tight binding calculations