J. Phys. France 44, 147-162 (1983)
DOI: 10.1051/jphys:01983004402014700

Devil's staircase and order without periodicity in classical condensed matter

S. Aubry<sup>1, 2

1</sup>  CNLS, Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, New Mexico 87545, U.S.A.
²  On leave of Laboratoire Léon Brillouin, Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France and DRP Université P. et M. Curie, Paris

Abstract
The existence of incommensurate structures proves that a crystalline ordering is not always the most stable one for non-quantum matter. Some properties of structures which are obtained by minimizing a free energy are investigated in the Frenkel-Kontorova and related models. It is shown that an incommensurate structure can be either quasi-sinusoidal with a phason mode or built out of a sequence of equidistant defects (discommensurations) which are locked to the lattice by the Peierls force. In that situation the variation of the commensurability ratio with physical parameters forms a « complete devil's staircase » with interesting physical consequences. Some general results for all structures which minimize a free energy are given. In addition to the known crystal and incommensurate structures, the existence of a new class of structures which have local order at all scale is predicted. Properties of the new class are described in physical terms and possible applications to certain amorphous or non-stoichiometric compounds are discussed.

Résumé
L'existence de structures incommensurables prouve que contrairement à une idée très répandue, l'ordre cristallin n'est pas toujours l'ordre le plus stable dans la matière solide non quantique. De nombreuses autres deviations à l'ordre parfait cristallin sont également connues : antiphases dans les alliages, composés non-stoechiometriques, amorphes. Cette grande diversité suggère au premier abord une certaine similitude avec les nombreux comportements d'un système dynamique : mouvements périodiques, quasi-périodiques, chaotiques, intermittents... Cependant, une différence importante tient au fait que la structure de la matière solide tend à la minimisation de son énergie libre, ce qui favorise toujours un certain ordre (à moins que des dégénérescences accidentelles ne conduisent à une structure chaotique avec entropie de configuration). Des résultats sur un modèle pour les structures incommensurables, que nous pouvons maintenant étendre à une plus large classe montrent que lorsque deux forces tendant à produire des structures de période différente entrent en compétition, la structure résultante peut être de deux types différents. C'est : 1) soit une structure incommensurable modulée quasi-sinusoidalement avec un mode de glissement de la modulation (phason); 2) soit une structure incommensurable formée par une succession équidistante de défauts (par exemple les discommensurations). Dans ce deuxième cas les défauts sont accrochés au réseau par la force de Peierls (ce qui permet éventuellement des configurations de défauts désordonnées mais en équilibre métastable). En variant la température ou la pression, le rapport de commensurabilité δ des deux périodes varie. La courbe de variation de δ qui possède une partie constante à chaque valeur rationnelle tout en restant continue, est appelée escalier du diable. Cependant, cette courbe ne se manifeste par des caractères physiques observables différents de ceux d'une transformation réversible et continue que lorsque les configurations rencontrées sont formées de défauts (escalier du diable complet). Des accrochages aux commensurabilités rationnelles deviennent observables et simultanément la transformation physique est irréversible bien que restant continue. Certaines extensions de cette théorie permettent de prouver en toute généralité, qu'il existe toujours une structure minimisant une énergie libre donnée et présentant au moins un ordre local. Le cas physiquement le plus courant correspond aux structures cristallines et incommensurables (avec phason) qui sont invariantes par rapport à un certain groupe de translation (agissant éventuellement dans un hyperespace dans lequel est immergée la structure) cf. de Wolf. Dans le cadre du même formalisme mathématique, on démontre qu'il existe aussi des structures sans période, sans entropie et possédant un certain ordre à grande distance induit par l'ordre local à toutes les échelles. Ces structures de défauts « hyperdiaboliques » qui ont des propriétés très différentes des structures habituelles (irréversibilité, centre tunnel...) pourraient aider à l'interprétation de certaines structures observées dans des amorphes et des composés non-stoechiometriques.

PACS
6150A - Theory of crystal structure, crystal symmetry; calculations and modeling.

Key words
commensurate incommensurate transformations -- crystal atomic structure -- crystal symmetry -- free energy