J. Phys. France 41, 737-745 (1980)
DOI: 10.1051/jphys:01980004107073700

Developable domains in hexagonal liquid crystals

M. Kleman<sup>1, 2

1</sup>  Laboratoire de Physique des Solides , Bât. 510, Université Paris-Sud, 91405 Orsay
²  S.E.S.I., C.E.N., 92260 Fontenay aux Roses, France

Abstract
Configurations without strain (as opposed to curvature) in a mesomorphic phase made of long thin rods (like hexagonal liquid crystals) are characterized by local frames of reference undistorted with respect to the ground state and by absence of splay deformation (div t = 0). These constraints lead to an important class of solutions, without twist deformation (t. rot t = 0), with bend deformation (t rot t ≠ 0). It is shown that this class of solutions is characterized by the existence of physical planes perpendicular to the rods, enveloping a developable surface. This is the solution first devised by Bouligand. We study its geometrical properties in details and solve the problem of obtaining all the so-called developable domains by using a plane representation of the space configuration. We also give methods to calculate its energy. Two simple examples are given, one in which the developable domain is equivalent to a disclination, another one in which it is equivalent to a singular point.

Résumé
Les configurations d'une phase mésomorphe du type cristal liquide hexagonal ne possédant pas d'énergie élastique mais seulement de l'énergie de courbure sont caractérisées géométriquement par l'existence de repères locaux non distordus par rapport à celui propre au cristal parfait, et par l'absence de déformation de divergence (div t = 0). Ces contraintes conduisent à une grande classe de solutions, sans déformation de torsion (t. rot t = 0), avec déformation de flexion (t rot t ≠ 0). On démontre que ces solutions sans torsion se caractérisent par l'existence de plans physiques perpendiculaires aux alignements moléculaires en colonnes (pour les disquotiques) ou en tuyaux (pour les lyotropes) de la structure. Ces plans enveloppent une surface développable, type de solution d'abord mis en évidence par Bouligand. Nous étudions en détail ses propriétés géométriques et montrons comment obtenir tous les domaines développables à partir d'une représentation plane de la configuration spatiale. Nous donnons aussi des méthodes de calcul de l'énergie. Cette théorie est illustrée par deux exemples simples : l'un où le domaine développable équivaut à une disclinaison, l'autre où il équivaut à un point singulier.

PACS
6130C - Molecular and microscopic models and theories of liquid crystal structure.
6130J - Defects in liquid crystals.

Key words
disclinations -- liquid crystals