Recherches sur les textures des états mésomorphes - 1. Les arrangements focaux dans les smectiques : rappels et considérations théoriques

Abstract
After a review of the geometry of the Dupin cyclides, many problems are considered, dealing with their application to the smectic mesophases. The results of Friedel and Grandjean are discussed. If we assume that the only singularities of the lamellated structure are the focal conics, we can demonstrate the main rules of domain association which were found from experimental data by these authors. One arc of conics belongs only to one domain ; domains are impenetrable between themselves. Boundaries of domains are cones of revolution. Domains are mainly tangent along common generators. The study of the general problem of these associations leads to the conception of new kinds of arrangements for cyclides (Fig. 10, 11) and for domains (Fig. 21, 40). However, the existence of such systems in the smectic mesophases is not yet proved. Many results of Friedel and Grandjean do not fit exactly the rules of association. In the polygonal texture, the polygon sides belong to hyperbola branches which lie in the horizontal planes of the slide or the cover-slip. Each pair of conjugated sides of the polygonal texture defines a domain. We see, however that the conics of such domains are not focal. In theory, each polygon must contain a lattice made with an infinity of ellipses. However, the number of ellipses seems to be finite in many cases and sometimes they are absent in several polygons. These differences between observation and theory leads us to assume the existence of a density of screw-dislocations in the smectic layers. The minimal density necessary to give the observed anomalies is proportional to rot n, where n is a unit vector parallel to the molecules. In the perfect smectic mesophase, where the only singularities would be the conics, we have rot n = 0. In the imperfect domains, rot n is parallel to n. This means that molecules lie along straight lines, stretched between the paired focal curves or between one focal curve and a certain boundary of the mesophase. This discussion allows a new interpretation of the famous Grandjean terraces in the smectic drops.

Résumé
Après avoir revu la géométrie des cyclides de Dupin, plusieurs problèmes concernant leur application aux mésophases smectiques sont étudiés. Les résultats de Friedel et Grandjean [8], [9], [12] sont discutés. Si nous supposons que les coniques focales sont les seules singularités de la structure lamellaire, nous pouvons alors démontrer les principales règles d'association des domaines qui furent établies expérimentalement par ces auteurs. Un arc de conique appartient à un seul domaine ; les domaines ne se pénètrent pas mutuellement. Les limites des domaines sont des cônes de révolution. Les domaines sont tangents entre eux le plus souvent selon des génératrices communes. L'étude du problème général de ces associations permet de concevoir de nouveaux arrangements des cyclides (Fig. 10, 11) et de nouvelles sortes de domaines (Fig. 21, 40). Cependant, l'existence de tels systèmes dans les mésophases smectiques n'est pas encore prouvée. De nombreux résultats de Friedel et Grandjean ne satisfont pas exactement aux règles d'association. Dans la texture polygonale, les côtés des polygones appartiennent à des branches d'hyperbole situées dans les plans horizontaux de la lame, ou du couvre-objet. Chaque paire de côtés conjugués de la texture polygonale définit un domaine. Cependant, les coniques de tels domaines ne peuvent pas être en position focale. En théorie, chaque polygone devrait contenir un réseau constitué d'une infinité d'ellipses. Cependant, le nombre d'ellipses des polygones paraît être fini et elles sont même parfois absentes dans plusieurs polygones. Ces différences entre l'observation et la théorie nous conduisent à supposer l'existence d'une densité de dislocations vis affectant les couches smectiques. La densité minimum nécessaire pour rendre compte des anomalies observées est proportionnelle à rot n, n étant un vecteur unitaire parallèle aux molécules. Dans une mésophase smectique parfaite, où les seules singularités sont des coniques, nous avons rot n = 0. Dans les domaines imparfaits rot n est parallèle à n. Ceci signifie que les molécules sont alignées sur des segments de ligne droite tendus entre les courbes focales appariées ou entre une courbe focale et une limite de la mésophase. Cette discussion permet une interprétation nouvelle des terrasses de Grandjean dans les gouttes smectiques.