Spectre des fluctuations thermiques a la surface libre d'un cristal liquide nématique

Abstract
We derive the power spectrum for thermal fluctuations of the free surface of a nematic liquid crystal in a magnetic field, using the fluctuation-dissipation theorem and the Eriksen-Leslie hydrodynamic theory, and computing the response function of the free surface to an external sinusoidal force. For the range of frequencies and wave vectors of interest the asymetric part of the Leslie viscous stress tensor is shown to be negligible : one is left with three independent shear viscosities as for any uniaxial incompressible system. A fourth parameter affecting the spectrum shape is the surface tension σ which is supposed isotropic. The theoretical spectrum depends on the orientation of the molecules with respect to the wave vector q of the fluctuations; its expression is explicitly given in different geometries whatever the damping conditions. Finally, we consider the effect of a molecular order in the bulk which competes with the order imposed at the free surface. The distorsion zone is shown to have the same effect as a surface viscosity η s if its thickness is small compared to q-1 ; η s can be evaluated for any geometry as a function of the thickness of the zone and of the liquid viscosities.

Résumé
Nous calculons le spectre des fluctuations thermiques de la coordonnée verticale des points de la surface libre d'un cristal liquide nématique placé dans un champ magnétique, en utilisant le théorème de fluctuation-dissipation. La fonction de réponse à une force de pression extérieure de caractère sinusoïdal s'exerçant à la surface est évaluée à partir des équations linéarisées de l'hydrodynamique. Nous avons utilisé la théorie hydrodynamique de Eriksen et Leslie dans laquelle interviennent 5 coefficients de viscosité. Cependant, pour le domaine de fréquences et de vecteurs d'onde qui nous intéresse, le tenseur des contraintes visqueuses a sa partie antisymétrique négligeable et s'exprime uniquement à l'aide de 3 coefficients qui représentent les 3 viscosités cinétiques typiques d'un milieu incompressible uniaxe. Le spectre des fluctuations dépend en outre de la tension superficielle que nous supposons isotrope. Nous indiquons explicitement la répartition spectrale, quelles que soient les conditions d'amortissement et pour plusieurs géométries correspondant à diverses orientations relatives de la direction des molécules vis-à-vis du vecteur d'onde q des fluctuations. Enfin, nous envisageons l'effet d'une orientation des molécules en volume contrariant l'orientation imposée par la surface libre. La présence près de la surface d'une zone où l'orientation des molécules est distordue a le même effet qu'une viscosité de surface ηs lorsque son épaisseur est petite devant q-1 ; ηs peut s'évaluer pour chaque géométrie en fonction de l'épaisseur de la distorsion et des viscosités du liquide.