Numéro
J. Phys. France
Volume 31, Numéro 8-9, août-septembre 1970
Page(s) 715 - 736
DOI https://doi.org/10.1051/jphys:01970003108-9071500
J. Phys. France 31, 715-736 (1970)
DOI: 10.1051/jphys:01970003108-9071500

The statistics of long chains with non-Markovian repulsive interactions and the minimal gaussian approximation

Jacques des Cloizeaux

Service de Physique Théorique, Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay B. P. n° 2, 91, Gif-sur-Yvette, France


Abstract
We study long chains (or rings) which occupy a space of s dimensions and which have repulsive interactions between all the points of the chain (N being the number of links) ; the method consists in introducing trial probabilities which are determined by minimization of the free energy FN ; these probabilities definite the mean size of the chain. Current theories are examined critically and their inconsistencies are revealed. The Minimal Gaussian approximation, which seems the simplest consistent approach, is described in detail for a ring of N links whose end points are assigned coordinates rj (j = 1, ..., N). The calculation shows that the mean square distance between two such points rj and rj+n (n >> 1, n/N << 1) is of the form : < (rj+ n - rj)2 > = bn2α(log n)βwith the following values : α=1,β=-1 for s = 2;α = 2/3, β = 0 for s = 3 ; α =1/2, β = 1/2 for s = 4 ; α= 1/2, β = 0 for s > 4. The structure of a large ring is investigated and the term ΔFN = FN- NlimN'→∞ (FN'/N') is calculated for s = 3 and N >> 1 (ΔFN oc log N). It is also shown that a large class of trial probabilities leads to the same qualitative results as the Gaussian approximation.


Résumé
Dans un espace à s dimensions, nous étudions le comportement de longues chaînes dont tous les points se repoussent (N étant le nombre de maillons) ; la méthode consiste à introduire des probabilités d'essai qui sont déterminées par minimisation de l'énergie libre FN ; ces probabilités définissent les dimensions moyennes des chaines. Des théories classiques sont examinées et leurs défauts mis en évidence. L'approximation gaussienne minimale qui semble l'approche self consistante la plus simple, est décrite en détail pour un anneau de N points de vecteurs rj ( j = 1, ..., N (un maillon joint deux points successifs). Le calcul montre que la distance moyenne quadratique entre deux tels points rj et r j+n (n >> 1, n/N 1) est de la forme < (rj+n - rj) 2 > = bn2α(log n)β avec les valeurs suivantes : α = 1, β=-1 pour s =2; α=2/3, β= 0 pour s = 3 ; α = 1/2, β= 1/2 pour s = 4 ; α = 1/2, β = 0 pour s > 4. La structure d'un grand anneau est étudiée et le terme ΔFN= FN - N lim (FN'/N') est calculé N'→ ∞ pour s = 3 et N >> 1 (ΔFN ∝ log N). On montre également qu'une classe étendue de probabilités d'essai conduit qualitativement aux mêmes résultats que l'approximation gaussienne.

PACS
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).

Key words
macromolecules -- polymers