Une nouvelle borne inférieure pour le calcul des niveaux d'énergie atomiques

Abstract
A new lower bound for the calculation of atomic energy levels is derived in the following case, where H is the hamiltonian, T the kinetic energy operator, [H] and [T] their respective mean values for some n-parameter trial functions : The error δE = [H] - E, which affects the upper bound [H] of the energy level E, and the mean value [T + H] varies with n so that δE = c[T +iH], where c is a practically constant coefficient. This case is frequently encountered in the applications. To estimate the new lower bound, which improves Temple's formula, one needs two trial functions. An application is made to the fundamental level of the helium atom and the result - 2.90372475 < E < - 2.90371971 (at. un.) is obtained with 13- and 27-parameter functions, the distance between the two bounds being about 1 cm-1. For the purpose of comparison, the result obtained by Kinoshita with Temple's formula and a 39-parameter trial function is - 2.9038737 < E < - 2.9037225 (at. un.). The two bounds are 33 cm-1 apart.

Résumé
Une nouvelle borne inférieure pour le calcul des niveaux d'énergie atomiques est établie dans le cas suivant, H étant le hamiltonien, T l'opérateur énergie cinétique, [H] et [T] leurs valeurs moyennes respectives pour des approximations d'ordre n croissant : L'erreur δE = [H] - E, qui affecte la borne supérieure [H] du niveau d'énergie E, et la valeur moyenne [T + H] varient avec n de façon telle que δE = c[T + H], c étant un coefficient pratiquement constant. Ce cas est fréquemment rencontré dans les applications. Pour déterminer la nouvelle borne inférieure, qui améliore la formule de Temple, il faut disposer de deux fonctions d'essai. Une application est faite au niveau fondamental de l'atome d'hélium et le résultat -2,90372475 < E < - 2,90371971 (un. at.) est obtenu avec des fonctions approchées d'ordres 13 et 27, l'écart des deux bornes étant de 1 cm-1 environ. A titre de comparaison, le résultat obtenu par Kinoshita avec la formule de Temple et une fonction approchée d'ordre 39 est de - 2,9038737 < E < - 2,9037225 (un. at.). Les deux bornes sont distantes de 33 cm-1.