Vibrations in regular and disordered fractals : from channeling waves to fractons

Abstract
Computer simulation of the vibrational properties of a Sierpinski carpet are reported. From the computed density of states, we find the spectral dimension d = 1.6 and the presence of singularities attributed to edges of the Brillouin zones of the underlying Bravais lattice. Then, we present mode patterns showing a new form of « channeling wave » at weak disorder becoming Anderson-localized at strong disorder. This is reflected in a non-monotonic variation of the participation ratio as a function of disorder. Analysing the mode patterns, we find no evidence supporting the conjecture of superlocalization. This study shows that the concept of a universal fracton is not appropriate to describe the two types of vibrational excitations we observe.

Résumé
On présente des résultats sur les propriétés de vibrations d'un tapis de Sierpinski obtenus à partir de simulations numériques. Du calcul de la densité d'états on obtient la dimension spectrale d = 1.6 ; on observe aussi la présence de singularités associées aux bords de zones de Brillouin du réseau de Bravais sous-jacent. Puis, on présente des cartes de modes où l'on voit un nouveau type d'onde « canalisé » à faible désordre qui devient localisé (au sens d'Anderson) à fort désordre. Ceci est reflété par la variation non monotone du taux de participation en fontion du désordre. De l'analyse des cartes de modes, nous n'avons trouvé aucun indice en faveur de la conjecture de « superlocalisation ». Cette étude montre que le concept de fracton « universel » ne peut décrire les deux types de vibrations observés.