Entropy ultrametric for dynamical and disordered systems

Abstract
The purpose of this paper is to show : 1) that the set of all histories of a dynamical system at any given time has an ultrametric structure ; 2) that for a dynamical system (X, F, m, T) a distance Dm on the set of histories can be defined in terms of the von Neumann-Shannon entropy ; 3) that a one parameter set of ultrametric distances D(α) m can be defined by using instead of the von Neumann-Shannon entropy the information measures of degree α for α ∈ [0, 1] ; 4) that the parameter Y used in the theory of disordered systems is a function of the information measure of degree 2 ; 5) that a similar construction holds also for disordered systems where ultrametricity is satisfied only in a probabilistic sense.

Résumé
Le but de cet article est de montrer : 1) que l'ensemble de toutes les histoires d'un système dynamique à un temps donné a une structure ultramétrique ; 2) qu'on peut définir pour un système dynamique (X, F, m, T) une distance Dm sur l'ensemble des histoires, en terme de l'entropie de von Neumann-Shannon ; 3) qu'on peut définir un ensemble à un paramètre de distances ultramétriques D(α)m en utilisant les mesures d'information de degré a, a ∈ [0, 1]; 4) que le paramètre Y utilisé dans la théorie des systèmes désordonnés est une fonction de la mesure d'information de degré 2 ; 5) qu'une construction similaire s'applique aussi aux systèmes désordonnés dans lesquels l'ultramétricité n'est satisfaite que dans un sens probabiliste.