3D solutions of non-linear evolution equations with diffusion

Abstract
A new technique is developed to solve for the first time non-linear evolution equations with diffusion. The results, which are obtained by means of a generating function and an associated operator, are expressed in a general form which explicitly refers to a double elliptically deformed spherical case. Solutions to cases of lower dimensionality or of higher symmetry can be directly found as special cases of this general form. The solutions, which correspond to physically realistic initial conditions are exact in the radially symmetric spherical and cylindrical cases, as well as in the plane case, whereas in elliptically deformed cases the solutions are valid asymptotically for long times. The relevance of the results for description of recombining diffusive plasmas is discussed.

Résumé
On développe une nouvelle technique en vue de résoudre pour la première fois des équations d'évolution non linéaires avec diffusion. Les résultats, qui sont obtenus au moyen d'une fonction génératrice et d'un opérateur associé, sont énoncés sous une forme générale qui se rapporte explicitement au cas sphérique avec une double déformation elliptique. Des solutions pour un plus petit nombre de dimensions ou une plus grande symétrie peuvent être directement obtenues comme cas particuliers de cette forme générale. Les solutions, qui correspondent à des conditions initiales physiquement réalistes, sont exactes dans les cas cylindrique et sphérique à symétrie radiale, ainsi que dans le cas plan, alors qu'elles sont valables asymptotiquement pour de longues durées dans les cas elliptiquement déformés. On discute la pertinence des résultats pour la description de plasmas diffusifs avec recombinaison.